Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(W\ i\ Y, n').(W, т, v, u) =
= (W'W, i + i', r'v + v', r'u + u' + v't). (12.141)
Его можно представить с помощью умножения матриц 5X5 вида
W v и'
0 1т. (12.142)
LQ Q 1J
§ 5. Проективные представления галилеевой группы
567
Единичным элементом группы О служит элемент (1, 0, 0, 0). Элемент, обратный элементу (W, t, v, и), имеет вид
(Г-1, — т, — НГЧ, — —vt}>
Инфинитезимальные матрицы выглядят следующим образом:
5 к' к п
0 0 ф
ООО
(12.143)
где 5—кососимметрическая матрица порядка 3X3, к' и к—произвольные векторы-столбцы, ф — вещественное число. Обозначим через atj элементы базиса алгебры Ли, элементы Ьь имеют тот же смысл, что и в предыдущем параграфе, dt — чистые преобразования Галилея и / — сдвиг по времени. Соотношения между коммутаторами имеют вид
[ац• aki\—Ъ]Ьац—6ikajl-{-6uajl! (12.144)
[аф bk]=bJkbl-bi,bj, [ft„ bf] = 0; (12.145)
[»ч.і»І=УгЦ. [<*,.^1 = 0: [dh fty] = 0; (12.146)
[«/у. /1=0. [ft,. /]=0. [dt, f)=bi. (12.147)
Задача. Проверьте соотношения (12.144) — (12.147).
При рассмотрении проективных представлений галилеевой группы мы можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа для случая п = 3. Повороты плюс параллельные переносы и повороты плюс чистые преобразования Галилея образуют подгруппы группы О, изоморфные группе Оз. Из результатов последнего параграфа вытекает, что'мы всегда можем подобрать функцию F, определяемую (12.97), так, чтобы
аы) = Р(аи> bk) = F(ai]t dk) = F(bi, bj) =
= F(di, dj) = 0. (12.148)
Из равенства (12.125) при ti = 3 и = следует
au = [aik, аИ], (12.149)
так что
F(aa, f) = F([aik, аы], /) =
= F(aik, [аы, /])-(-
-f F([aik, /], akl) = Q, (12.150)
568 Глава. 12. Проективные представления. Малые группы
поскольку, согласно соотношению (12.147), аргументы функции равны пулю. Аналогичным образом из (12.126) получаем
2bi = [aik> bk], (12.151)
следовательно,
F{bh f)=~F{[aik> bk\, л.
И снова, воспользовавшись тождеством Якоби (12.105) для функции F и соотношением (12.147), находим
F{bh /) = 0.
Аналогично,
F(dt, f) = 0.
Единственной оставшейся величиной после всех преобразований будет F (bt, dk). Из (12.126) имеем
2F(bl, dk) = F{[aij, bj], dk) =
= F([au, dk], bj) + F([dk, bj], au).
С помощью соотношения (12.146) получаем
2Fib,, dk) = bjkF(dt, bj)-bikF{dj, bj) =
= F(dit bk)-6lkF(dj, bj) =
= - F(bk, d[) — blkF(dj, bj). (12.152)
Переставив индексы / и k, приходим к соотношению 2F{bk, di) = ~F{bi, dk)-bikF(dj, bj),
а подставляя в правую часть результат преобразований (12.152), находим
F{bt, dk)=~^bikF{dj, bj) = y6lk, (12.153)
где
y = -jF(dj,bj) (12.154)
— константа. При уф 0 мы не можем исключить эту константу из соответствующих соотношений для операторов
l[Bh Dk]=yblk. 1. (12.155)
Таким образом, совокупность классов эквивалентности для группы Галилея одномерна.
§ 6 Неприводимые предсгавления группы параллельных переносов 569
§ 6. Неприводимые представления группы параллельных переносов
Группы, которые мы рассматривали в предыдущих параграфах, включали в себя галилееву группу, группу /3 евклидовых движений (поворотов и переносов) в случае трех измерений и неоднородную группу Лоренца U. Во всех этих группах параллельные переносы образуют абелеву инвариантную подгруппу Тп, поэтому простейший метод нахождения представлений полной группы состоит в том, что сначала рассматривают представления группы Тп параллельных переносов.
Тп есть группа преобразований вида
x,= x-{-u, x'v = xv-\-uv (v = 1..............п). (12.156)
Мы ограничимся тем, что найдем неприводимые унитарные векторные представления группы Тп. Если оператор представления, соответствующий параллельному переносу и, если оператор D(u), то
D(u)D(u') = ?>(u+u'). (12.157)
Поскольку группа параллельных переносов Тп абелева, все ее неприводимые векторные представления одномерны. Если ф— базисная функция неприводимого унитарного представления, то
D (и) ф = е1Ь (“>ф, (12.158)
где вещественное число 6 зависит от вектора переноса и. Если rij — единичный перенос вдоль оси *і, то
0(П1)Ф = Є'*1Ф, ?1=6(П1).
Если ихпа — перенос на величину их вдоль оси xlt то
D(«j, tij) ф = еік'и' ф.
Продолжая те же рассуждения для х2, х3...........х„, находим
П
?)(и)ф = е/к'“ф, причем и = 2 Mvnv* (12.159)
v=l
где к—вещественный вектор.
Таким образом, неприводимое унитарное представление группы Тп характеризуется вещественным вектором к в я-мерном пространстве. Такое представление мы будем указывать, записывая базисную функцию в виде ф(к) или фк. Общее представление группы Тп будет
прямой суммой представлений (12.159) для различных векторов к.
В частности, мы можем реализовать представления в пространстве функций ф(г), задавая операторы D(u) так, чтобы
0(и)ф(г) = ф(г + и).
(12.160)
570 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
откуда при
Фк(г) = е/к'г
получим
D (и) фк (г) = фк (г + и) = еікафк (г). (12.161)
Разложение функции ф(г) по базисным функциям фк(г) есть не что иное, как преобразование Фурье
Выбрав другой подход, мы можем рассмотреть эрмитовы ин-финитезимальные операторы pv представления, которые удовлетворяют соотношениям [pv, />v-] = 0. Так как все операторы pv коммутируют, МЫ можем определить систему собственных функций фк таких, что
