Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
несколько затянувшихся рассуждений мы обнаруживаем, что (39.43.111)
переходит в выражение
(39.43. III) = - ieJw^k-w.w.k' + gwGkk'- (39.47)
Теперь подытожим наши результаты. Мы ввели уравнение для функции
Gk~w,w,k'" которая была задана с помощью (39.42). Вычисление отдельных
выражений I, II, III приводит затем к следующему конечному результату:
(^k-w,w,k' - i (fyc-w ~Ь (r)w) ^k-w,w,k' ~Ь 8v?Gkk'- (39.48)
19 x. Хакен
290
ФУНКЦИИ ГРИНА
[ГЛ. VI
Теперь могло бы показаться, что нам снова предстоит такая же скучная
задача вывода аналогичного уравнения для (39.38). Однако, как можно
показать по аналогии с упражнением 2, (39.38) обращается в нуль (по
меньшей мере для состояния, в котором нет фононов):
e;,k+w.*-0. (39.49)
Тем самым наша задача - найти замкнутую систему уравнений для функций
Грина - решена. Используя результаты (39.48) и (39.49), оба типа
уравнений можно представить следующим образом:
-- - iekGkk/ - /6kk'6 (t - t') - 2 gwGk-w<Wtk>, (39.50)
d
"Gk-w,w,k' = i (^k-w "h fow) (^k-w,w,k' 4" g\fGkk/. (o9.51)
При решении уравнений (39.50) и (39.51) кажется разумным по аналогии с
решением уравнения для частицы без взаимодействия
(39.13) вновь воспользоваться фурье-преобразованием. Поближе мы
займемся этим в задании 5, а сначала с помощью другого метода решения
покажем, что взаимодействующий с колебаниями решетки электрон может быть
действительно описан с помощью новой смещенной энергии и константы
затухания. При этом ограничимся случаем t>t' и k = k'. Тогда в уравнении
(39.50) неоднородный член ~ 6U - t')- 0 и система (39.50) и (39.51)
переходит в систему линейных однородных уравнений с постоянными
коэффициентами. Для решения подобных систем уравнений, как известно,
полагают, что неизвестные функции пропорциональны экспоненциальным
функциям:
Gklk = Cke(-i8-v)t, (39.52)
Gk-w,w,k = T>k,w6(_iE_V)(, (39.53)
где e, у, CK, Z>k,w-постоянные, подлежащие определению. Подстановка
(39.52) и (39.53) в (39.50) и (39.51) непосредственно дает
(- is - у)Ск = - iskCk - 2 gl-Dk,w (39.54)
W
И
(- is - у) DKw = - i (ek_w + cow) Z)kjW -{- gwCk. (39.55)
Из уравнения (39.55) можно найти D k>w:
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
291
Если теперь подставить это выражение в (39.54), то Ск в обеих частях
сокращается и почти сразу получается уравнение
е - iv - ек - 2 i I2 -B + fY + 8k^w + ^- ¦ (39-57)
Уравнение (39.57) представляет собой уравнение на собственные значения
для (е - "у). Поскольку (г - rf) стоит под знаком суммы, то определение
(е - iy) может оказаться сложной задачей. Если мы ограничимся малыми
константами связи lgw I2, то имеет смысл решать уравнение (39.57) методом
итераций. В нулевом приближении сумму в (39.57) мы опустим, после чего
получим
е(0) - ek, у,0) - 0. (39.58)
В следующей итерации подставим под знак суммы s = ek. Ввиду того, что в
(39.58) у(0) = 0, у нас могло бы возникнуть искушение и в следующей
итерации положить у = у(Ш = 0, что приводит, однако, как показывает
дальнейший анализ, к противоречию. Поэтому сначала сохраним ,у, а затем
рассмотрим с учетом (39.58) предельный переход у(0) 0:
е - iy = ek - lim 21 ^ J3 ----------------------------- (39.59)
T(oUo w ek + ek _w + Ww 4* lT
Для дальнейшего вычисления суммы в (39.59) преобразуем ее в интеграл. Как
нам уже известно (см. (29.27)), константы связи gw зависят от объема
кристалла V следующим образом: gw ~ ~ 1/YV. Поэтому положим
(39.60)
Так как суммирование ведется по волновым векторам, то справедливо
следующее соотношение (см. (30.27)):
Полученный таким образом интеграл
-Ц f I S% I2 '--------------------ш (39-61)
(2л) J 1 W 1 - вк + еь _w + (off + "УV '
вычислим при у(0) 0, используя соотношение
Е - i! + iy = р (1 - ?") " ыб ~ ?о)' (39'62)
где Р означает главное значение. Если подставить (39.61) с уче-19*
292
ФУНКЦИИ ГРИНА
[ГЛ. VI
том (39.62) в (39.59) и отделить действительную и мнимую части, то
получим следующий конечный результат:
е==е Р * ГЬЧ2----------------1------- d3w, (39.63)
k (2я)3 J |Sw| -ek + ek+w-t-"w
Y = - j 1?"¦ I2 6 (- ek + ek+w + iow) d*w. (39.64)
Результаты (39.63) и (39.64) уже встречались нам ранее в рамках теории
возмущений. А именно, в рамках первого порядка теории возмущений мы
нашли, что электрон при взаимодействии с колебаниями решетки (более точно
в данном случае - благодаря испусканию фононов) рассеивается из
начального состояния к с вероятностью перехода в единицу времени, которая
как раз дается выражением (39.64). Следует учесть, что здесь
рассматривается особый случай, когда нет термически возбужденных фононов.
Выражение (39.63) также встречалось нам уже в § 35, где вычислялась
собственная энергия поляронов. Настоящий пример отчетливо демонстрирует
большие преимущества применения функцпй Грина. Мы можем фактически, как
мы уже видели в предыдущем параграфе, одним махом найти как собственные
значения, так и время жизни возбужденного состояния. Читателю, желающему
глубже проникнуть в рассмотрение этой проблемы, рекомендуются
