Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
в виде разностей х2 - Xj и t2 - t\. Это свойство является следствием
пространственной трансляционной инвариантности задачи - свободная частица
"видит" однородное пространство. Совершенно аналогично имеет место и
временная инвариантность, поскольку на частицу не действуют никакие
зависящие от времени силы.
Как мы только что видели, функцию распространения можно представить с
помощью среднего значения (38.4) и (38.5). Теперь мы обобщим эту
концепцию еще на целый ряд направлений. Прежде всего представим оба
выражения (38.4) и (38.5) с помощью одного выражения, введя так
называемый хронологический оператор Дайсона Г, который имеет следующий
простой смысл. Если написать этот оператор перед произведением зависящих
от времени операторов, то операторы упорядочиваются справа налево в таком
порядке, что операторы, относящиеся к более ранним моментам времени,
всегда стоят справа от операторов, относящихся к более поздним моментам
времени, Тем самым в качестве определений оператора Т получаем уравнения
Т'Фо (Х2' ^2) Фо" (xi> ^1) = Фо (Х2> ^2) ф? (xi> ^l) для t2 > t± (38.6)
и
Тф0(х2, ^2)ФоЧХ1' ^l) == + ФоЧХ1' ^3.)Фо(Х2' ^2) ДЛЯ (38.7)
Относительно знаков плюс и минус в правой части (38.7) дело обстоит
следующим образом: знак минус ставится, если речь идет о фермиоператорах,
а плюс - если это бозевские операторы.
Если теперь в уравнениях (38.6) и (38.7) построить среднее значение
относительно вакуумного состояния, то непосредственно получится
соотношение
г <Ф" I Гфо (хг> ^2) Фо" (хи ^1) I Ф0> ~
= J- 1 <ф0 [Фо (Х2> Ч) Ф^ (Х1> *l) | Фо> при "" >
(± г <Ф01 ф^ (хх, tj) ф0 (х2" t2) | Ф0> при 12 < гх.
S 38]
ПРОПАГАТОР, ФУНКЦИЯ ГРИНА И ДР.
277
Тем самым мы достигли своей цели - представить соотношения (38.4) и
(38.5) одним выражением. Функция (38.8) допускает многие обобщения. Нам
нет необходимости полагать, что свободная частица добавляется к вакууму.
Мы можем, например, представить себе, что в кристалле распространяется
электрон, добавленный к уже имеющимся, скажем, избыточной электрон в
полупроводнике. На этом основании функцию Фо, вообще говоря, можно
заменить вектором состояния Ф, описывающим новую физическую ситуацию.
Точно так же при распространении частицы вовсе не необходимо, чтобы это
была непременно частица без взаимодействия. Более того, наиболее
интересный случай возникает именно тогда, когда частица находится во
взаимодействии с окружением, как, например, электрон с колебаниями
решетки (в особенности поляроны), или когда электрон взаимодействует с
другими электронами кристалла. При этом следует, естественно, заменить
оператор свободной частицы Но на полный оператор Гамильтона с
взаимодействием Н и, таким образом, в самом общем случае определить
зависящие от времени операторы уничтожения в представлении Гейзенберга:
г[5 (х, t) = е л Н\|) (х) е п Ш. (38.9)
Тогда получаем следующее определение функции Грина:
I G (х2, #2; хх, tx) = - г <ф | Тф (х^Г *2) ф+ (х1? Ф>. (38.10)
Эта и родственные ей функции приобрели в современной теории твердого тела
очень важное значение, и в последующем изложении на некоторых
сравнительно простых примерах мы покажем, почему функции Грина так важны
и что можно описать с их помощью.
Если задача обладает пространственной и временной инвариантностью, то
функция (38.10) зависит не от отдельных аргументов xi, х2, fi, f2, а, как
уже было отмечено выше, от соответствующих разностей
х2 - XI = х, t2 - tx = t. (38.11)
При этих предположениях функция Грина становится функцией только х и t:
Cr(x2, t2; Х[, fi) = G(x, t). (38.12)
Далее, мы будем действовать следующим образом:
1. Сначала поясним, какая информация содержится в G или, выражаясь проще,
почему физики-теоретики вообще занимается функцией Грина G.
2. В следующем параграфе мы установим уравнение для G и продемонстрируем
полезность функции Грина G.
Информативность функции Грина G. Вновь начнем с примера свободной
частицы. Как мы уже видели, функция Грина" в
278
ФУНКЦИИ ГРИНЛ
[ГЛ. VI
этом случае дается следующим явным выражением:
C(x,0 = l_i?^'!"*''VnP,,t>0- (38.13)
I 0 при t < 0.
Определение (38.13) представляет разложение Gix, t) по плоским волнам, т.
е. пространственное преобразование Фурье. Соответствующие фурье-
коэффициенты мы обозначим через Gk(t):
G(*,*) = 2(iИкхК(*)- <38Л4>
При этом функция Gk(0 представляет собой совершенно иную функцию, нежели
G(x, t). Поэтому читателю следует обращать особое внимание иа аргументы х
и к. Сравнение (38.14) с (38.13) показывает, что G^it) дается выражением
( • - *ек ^ г\
Gk(")=f " jf ПРИ 5)
v ' l\ 0 при t < 0. v
Естественно, здесь нет ничего нового для случая свободной частицы. Это
выражение утверждает лишь, что вектору распространения к свободной
частицы отвечает энергия ?к==Йек . Основная проблема возникает тогда,
когда речь идет о частице, которая связана со своим окружением некоторым
взаимодействием. В этом случае следует ожидать, что энергия первоначально
свободной частицы изменяется. Кроме того, как мы видели в § 30, частица
