Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
сверхпроводника.
Для этого рассмотрим сверхпроводник, имеющий неограниченную
протяженность. Координату, направленную вглубь сверхпроводника, обозначим
через z. Из уравнения (40.7) заключаем, как обычно в электродинамике, что
Вг постоянна.
Исходя из специально выбранной конфигурации сверхпроводника, можно
принять, что В имеет только z-компоненту, которая может зависеть еще и от
z. Тем самым условие (40.5) оказывается выполненным. Исключая из
уравнений (40.7) и (40.10) плотность тока j, получаем
9 4jt
V В = - rot rot В = В, (40.11)
или, если выписать только отличные от нуля компоненты,
Решение (40j12) имеет вид
Bx(z) = S(0)e-z/\ (40.13)
Это решение показывает, что поле внутри сверхпроводника действительно
затухает экспоненциально, причем глубина проникновения X, как следует из
(40.12), дается следующим выражением:
-(?)
1/2. (40.14)
Подставляя численное значение для Л, находим величину X:
X = 10-6 см. (40.15)
Таким образом, наше рассмотрение показало, что уравнение (40.10)
действительно описывает диамагнетизм сверхпроводника.
Следует заметить, что X зависит от температуры Т. При Т = Тс получаем X =
оо, а при Т = 0 получаем X = A,min. Поскольку глубина
проникновения X через Л зависит от концентрации
сверхпроводящих электронов (см.
(40.9)), то это является прямым указанием на то, что число
сверхпроводящих электронов само является функцией температуры.
Покажем теперь одно следствие из уравнений Лондонов, которое может быть
прямо использовано в микроскопической теории сверхпроводимости. Для этого
рассмотрим поперечное поле, введем, как обычно, векторный потенциал с
помощью уравнений
В = rot А, (40.16)
Е = -(40.17) с at
и дополнительное условие поперечности векторного потенциала div А = 0,
(40.18)
§ 40]
ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
297
Подставляя эти выражения в материальные уравнения (40.8) и
(40.10), получим
А
A rotjs =------- rot А
и
л !ii = _ j_?^.
dt с dt
Эти уравнения можно сразу проинтегрировать. Если принять, что нормальная
составляющая А на границе замкнутого сверхпроводника исчезает, то
интегрирование дает следующий результат:
Ajs = - -f А. (40.21)
Обоснование этой связи между сверхпроводящим током js и векторным
потенциалом А может, если не вдаваться в тонкости, рассматриваться в
качестве прямой цепи микроскопической теории. Для того чтобы установить
смысл этого соотношения, рассмотрим выражение для плотности тока,
которое, как известно из квантовой механики, имеет следующий вид:
pfj о 2
j (Х)= 2Ш grad Ф ^ W Srad (Х) гКХ)-
(40.22)
В квантовополевой формулировке ф и ф*, естественно, следует заменить
операторами поля. Среднее значение плотности тока в формализме квантовой
теории поля дается тогда выражением
jOO = "D|j(x)|(r)>. - (40.28)
Если нет магнитного поля и тем самым нет векторного потенциала А, то в
основном состоянии, естественно, плотность тока исчезает, т. е. стоящее в
фигурных скобках выражение дает тогда нуль. Если бы н при включенном
магнитном ноле это выражение, как п прежде, было равно нулю, то плотность
тока имела бы требуемый выражением (40.21) вид. То есть тогда плотность
тока \ была бы пропорциональна векторному потенциалу, умноженному на
плотность ф+ф электронов. Поэтому вначале могло бы показаться, что каждый
проводник мог бы стать сверхпроводником. Однако это ни в коем случае не
так. Как показывает более обстоятельное решение, при введении векторного
потенциала электронные волновые функции также испытывают его влияние. При
этом вклад от членов в фигурных скобках полностью компенсируется
последним выражением в (40.22), которое пропорционально А.
Как следовало бы сформулировать микроскопическую теорию, которая
гарантировала бы, что стоящее в фигурных скобках вы-
(40.19)
(40.20)
298
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
ражение, кратко обозначенное через ji, и в присутствии магнитного поля
остается равным нулю, так что лишь второе выражение в (40.22), кратко
обозначенное через ]'г,
дает ненулевой вклад? Это было бы возможно в том случае, если бы волновые
функции обладали своего рода жесткостью, оставаясь неизменными и при
наложении магнитного поля. Как раз такая ситуация имеет место в
диамагнитном атоме. Жесткость волновых функций была бы гарантирована,
если бы возбужденное состояние сверхпроводника было отделено от основного
состояния энергетической щелью. Эта идея, высказанная Лондонами,
оказалась чрезвычайно плодотворной, и основная цель развития
микроскопической теории сверхпроводимости состояла в том, чтобы показать
существование такой энергетической щели. Такая энергетическая щель, если
бы она к тому же зависела от температуры, хорошо объясняла бы
экспериментальное поведение удельной теплоемкости. Прежде чем мы поближе
подойдем к еопросу об энергетической щели, сделаем еще два замечания.
1. При слабых и медленно меняющихся полях предполагается, что основное
состояние "адиабатически" меняется с полем. Однако никаких заметных
возбуждений над основным состоянием нет.
