Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
2. Далее добавим, что наряду с глубиной проникновения Я в теорию
сверхпроводимости следует ввести (хотя бы феноменологически) еще вторую
длину, а именно длину когерентности ?. Как нам теперь известно, и мы
увидим это в следующих параграфах, эта длина когерентности определяется
пространственной протяженностью парных волновых функций сверхпроводника.
Если
то говорят о жестком сверхпроводнике. Здесь мы закончим наше
феноменологическое рассмотрение сверхпроводимости и перейдем к вопросу о
том, чего же следует требовать от микроскопической теории. При этом
важнейшая задача состоит в том, чтобы вскрыть, какие взаимодействия между
электронами являются решающими для обоснования жесткости основного
состояния и лежащей за ним энергетической щели. Несмотря на большое число
попыток, прошло много времени, прежде чем Фрёлих нашел правильный
результат. Исходя из соображений, являющихся типичными для представлений
квантовополевой теории, Фрёлих установил, что между электронами через
посредство колебаний решетки может
(40.24)
(40.25)
то говорит о мягком сверхпроводнике, а если
Я"
(40.26)
§ 41] ФРЁЛИХОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ 299
возникнуть прямое взаимодействие. Это взаимодействие тем сильнее, чем
сильнее взаимодействие электронов с колебаниями решетки. С другой
стороны, сила этого последнего взаимодействия определяет величину
электрического сопротивления. Чем более выражено это взаимодействие, тем
выше электрическое сопротивление при прочих равных условиях. На основании
этих рассуждений следует ожидать "парадоксальный" результат, что вещества
являются тем лучшими сверхпроводниками, чем выше их сопротивление в
нормальном состоянии. Это одновременно гениальное и смелое предположение
нашло в проведенных сразу же экспериментах по изотопическому эффекту
блестящее подтверждение. Амплитуда колебаний решетки и тем самым
эффективное элек-трон-решеточпое взаимодействие зависят от массы нона М,
и чем меньше масса, тем больше взаимодействие. Теория Фрёлиха
предсказала, что температура перехода Тс должна быть пропорциональна
М~1', как ото действительно было обнаружено. Однако абсолютная величина
Тс оказалась слишком большой. Это было связано с тем, что Фрёлих вычислял
собственную энергию электронов. Теперь мы знаем", что Тс в значительной
степени определяется взаимодействием между электронами. Далее мы двинемся
вперед следующим образом. Из электрон-решеточиого взаимодействия мы
выведем эффективное фрёлиховское взаимодействие между электронами и
обсудим методы решения полученного таким образом уравнения Шредингера.
§ 41. Теория сверхпроводимости: введение фрёлиховского взаимодействия
между электронами
Исходным пунктом исследований в этом разделе является оператор Гамильтона
из § 29, который описывает взаимодействие между электронами и колебаниями
решетки. Как мы увидим позже, для теории сверхпроводимости существенно
наличие у электрона спина. Поэтому к волновому числу к добавим еще один
индекс о, который указывает, находится ли электрон в одном спиновом
состоянии (спин вверх) или в другом спиновом состоянии (спин вниз). Таким
образом, это спиновое квантовое число а может иметь два значения: "спин
вверх" (стрелка вверх) и "спин вниз" (стрелка вииз). Тогда отдельные
слагаемые оператора Гамильтона
| Н - Но + #вз (41.1)
можно представить следующим образом:
Н0 = 2 ^ek(r)k,aak,a "Ь 2 (41-2)
k,a w
Нвз = % 2 (^w^w(r)k+w,ff(r)k,(j "Г &yrb-wai,aalt+w,<j)' (41.3)
k,w,ff
300
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
При этом принимается, как обычно, что взаимодействие между электронами и
колебаниями решетки не оказывает влияния на спин. Поэтому как у
операторов рождения, так и у операторов уничтожения электронов в (41.3)
стоит один и тот же индекс а.
Вначале мы будем исследовать эту задачу в представлении Гейзенберга,
которое рассматривалось в § 16, и обратим особое внимание на уравнения
(16.34), (16.35). Как мы увидим, Представление Гейзенберга особенно
наглядно и позволяет, по крайней мере интуитивно, лучше понять сделанные
здесь приближения. Как можно увидеть, вернувшись назад к уравнениям
(16.34) и (16.35), в правых частях этих уравнений стоят также частоты
o)w. Чтобы избавиться от них, предпримем преобразование фононных и
электронных операторов рождения и уничтожения, предлагаемое
представлением взаимодействия
Тогда уравнение для фононного оператора рождения принимает вид
Если бы электронные операторы в (41.8) были классическими величинами, то
(41.8) означало бы, что фононная амплитуда изменяется во времени
благодаря движению электронов. Это лишь отражает то простое
обстоятельство, что пролетающий сквозь решетку электрон поляризует ее,
смещая ноны решетки из их положений равновесия. Со своей стороны,
смещения ионов оказывают обратное действие на электрон. Чтобы лучше
понять это обратное воздействие, рассмотрим временное изменение вначале
произвольного оператора А, построенного из электронных операторов.
