Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
кратных бифуркаций в главе 7. Мы уже видели на примере с чисто мнимыми
собственными значениями, что нормальная форма (3.3.15), усеченная до
кубических членов, инвариантна относительно произвольных вращений точно
так же, как и линейное поле L = ( ~у ). Дальнейшие вычисления нормальной
формы показывают, что эта инвариантность сохраняется во всех
алгебраических порядках.
Упражнение 3.3.2. Показать, что система
х = у + о(\х\,\у\),
У = о(\х\, \у\) может быть преобразована к форме
пи2
+ о(\и\2 ,\v\2)
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
187
или к форме
2 , , +°(М2,М2)
v - аи + buv
Найдите какой-либо базис в Сз и приведите нормальную форму вплоть до
третьего порядка.
В завершение данного раздела мы обсудим роль параметров в вычислении
нормальной формы. Как при вычислении центральных многообразий
параметризованных систем, мы вновь применяем прием расширения системы х =
f(x, /г) в большую систему
* = (3.3.16)
/7=0.
В данной системе можно вычислить нормальную форму с дополнительным
требованием, чтобы все преобразования координат Н{х,ц) имели вид Н(х,ц) =
(Н(х,ц), /г). Такие преобразования необходимо оставляют уравнение /7 = 0
неизменным и приводят систему х = f (х, /г) к нормальной форме с учетом
зависимости от /г. На практике эти расчеты производят так, как показано
выше, но коэффициенты считают степенными рядами по параметру /г.
Теорема о нормальной форме, приведенная в данном разделе, далеко не
является последним словом в вопросе о возможности преобразования одного
векторного поля в другое посредством некоторого гладкого преобразования
координат. Наряду с вышеупомянутой теоремой Siegel, Sternberg о
линеаризации, Takens [1973 а] получил соответствующие результаты для
векторных полей с простым нулевым собственным значением или парой простых
чисто мнимых собственных значений. Для положений равновесия с более
вырожденными линейными частями, по-видимому, мало что известно.
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
В этом разделе мы опишем простейшие бифуркации положений равновесия. Их
можно представить при помощи следующих четырех дифференциальных
уравнений, зависящих от единственного параметра /г:
х = /г - х2 седло-узел, (3.4.1)
х = fix - х2 транскритическая, (3.4.2)
х = fix - х3 вилка, (3.4.3)
188
Глава 3
( х = - у + х(и - (х2 + у2)) .
< 9 9 (бифуркация Хопфа1). (3.4.4)
[у = х + у(у-(х +у ))
Бифуркационные диаграммы для этих четырех уравнений изображены на рис.
3.4.1-3.4.4. Оказывается, что каждое из уравнений (3.4.1)-(3.4.4)
естественным образом в том или ином контексте качественно определяет
типичные бифуркации положения равновесия. Нашей задачей является
подробное описание того, как и при каких условиях можно свести изучение
общего уравнения (3.3.1) к одному из этих частных примеров.
Седло-узел
Рассмотрим систему уравнений
х = /Да;), (3.4.5)
где х е R", /I е К, a /jj - гладкая функция. Предположим, что при у = тщ,
х = xq система (3.4.5) обладает положением равновесия, в котором одно
1Эта бифуркация впервые изучена в более общем случае двумерных систем А.
А. Андроновым и Е. А. Леонтович, см. [Андронов, Леонтович, Гордон].
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
189
Рис. 3.4.3. Бифуркация типа "вилка" (сверхкритическая).
Рис. 3.4.4. Бифуркация Хопфа (сверхкритическая).
из собственных значений (линеаризованной системы) равно нулю. Обычно это
нулевое собственное значение простое, так что теорема о центральном
многообразии позволяет свести изучение бифуркации этого типа к случаю,
когда вектор х одномерен. Более точно, используя идеи раздела 3.2, мы
можем найти некоторое двумерное центральное многообразие Е С R" х R,
проходящее через точку (хо, Мо) такое, что
(1) Касательное пространство к Е в точке (xo,Mo) является линейной
оболочкой собственного нуль-вектора для DffJi(J(xо) и некоторого вектора,
параллельного оси ц.
(2) Для любого конечного г многообразие Е будет класса Сг в достаточно
малой окрестности точки (xq, цо).
(3) Векторное поле (3.4.5) касается Е.
(4) Существует такая окрестность U точки (жо, Мо) в х К, что все
траектории, целиком содержащиеся в U, в любой момент времени лежат и в Е.
(Замечание: теорема о центральном многообразии позволяет сформулировать
более строгие свойства, нежели (4), которые описывают качественную
структуру траекторий, остающихся вблизи точки (ауц /щ) в прямом или
обратном времени, см. Carr [1981].)
190
Глава 3
Сужая систему (3.4.5) на Е, получим однопараметрическое семейство
уравнений, описывающих одномерные кривые Ем на Е, получаемые при
фиксированном р (см. рис. 3.2.7). Это однопараметрическое семейство
представляет собой нашу редукцию обсуждаемой бифуркационной проблемы.
Сформулируем теперь условия трансверсальности для системы (3.4.5), где п
= 1, при которых возникает бифуркация седло-узел. Мы имеем всегда
-^^{хф) = 0, но потребуем в качестве условия трансверсальности, чтобы
-лр~{хф) Ф 0. Как следует из теоремы о неявной функции, положения
