Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
последовательные преобразования приводят на каждом шаге к появлению
дополнительных членов старших порядков, которые (вплоть до некоторого
порядка) необходимо учитывать, если требуется вычислить определенные
коэффициенты данной нормальной формы. Например, при изучении бифуркации
Хопфа в разделе 3.4 мы увидим, что квадратичные члены можно полностью
удалить из нормальной формы, тем не менее, они вносят существенный вклад
в коэффициенты при двух неудалимых кубических членах.
Проиллюстрируем теперь процедуру нормализации на примере плоской системы,
имеющей положение равновесия с собственными значениями ±г. В подходящей
линейной системе координат преобразование DL задается матрицей (*? ^q1),
и мы имеем L = ("/). Вычислим действие
оператора ad L на i?2 для мономиальных векторных полей следующим образом.
Для каждого базисного вектора 1) из Н2 имеем
(3.3.10)
ad L{Yi) = DLYt - DYiL = J J
(3.3.12)
Таким образом, к примеру,
ит. д. (3.3.13)
184
Глава 3
В дальнейшем будем обозначать компоненты У1, Y2 векторного по
f) f)
ля Y при помощи операторов частного дифференцирования так
что, к примеру, 2ху-^~ + х2обозначает векторное поле {^xji j-
wet
получим такую таблицу для H-i-
9 9 Г) Г)
Выбирая х , ху, у в качестве базиса для каждой из компонент А, А,
ах ду
9 2Г ху V 2
А дх 2хУАх+х2Ау + худу 1 to В + to <§= CD
А ду -х21 + 2хУАу -А+(s2 -*ч to 2Av
Таким образом, в базисе \ х2-^-, ху-^-, у2-Т, х2-^-, ху-@~, у2 \ F I
аж' удх' у дх ду' Уду' у дуJ
оператор ad L имеет следующую матрицу (здесь компоненты образов
ad L(Yj) находятся в столбцах, соответствующих Yj в верхнем ряду над
матрицей):
.2 д_
дх
А
дх
,2 а
дх
2 а
ду
X
ху
У
X
У
2 а
ду
2 а дх А 2 д у Ах т2 а ду А 2 д у тг ду
0 -1 0 -1 0 0
2 0 - 2 0 -1 0
0 1 0 0 0 - 1
1 0 0 0 -1 0
0 1 0 2 0 - 2
0 0 1 0 1 0
Данная матрица невырождена (ее определитель равен -9), поэтому все
квадратичные члены векторного поля с линейной частью ~y~g~ + x~q~
можно удалить преобразованием координат.
Что касается кубических членов, то аналогичные вычисления приводят к
такой таблице:
3.3. Нормальные формы
185
X3 х2у
д дх (2 ху2 - х3)-0- + х2у^~ дх ду
А ду -^т+^ущ -х2у? + (2ху2-х3)§-у
ху2 У6
А дх (У3 -2х2у)?+ху21 СО Н to + со CD
А ду -y3f-3xy2i-дх ду
Следовательно, матрица оператора ad L на Яз такова:
з д х' я дх ~з д дх 0 Х2уА х удх -1 2 д Ху di У 0 з А дх 0 ~з д
ду -1 Х2уА уду 0 0 со ° ^
2 д ху1 3 0 -2 0 0 -1 0 0
2 д ХУд~х 0 2 0 -3 0 0 -1 0
з д уАх 0 0 1 0 0 0 0 -1
х3А ду 1 0 0 0 0 -1 0 0
2 д хуАу 0 1 0 0 3 0 -2 0
2 д Худ~у 0 0 1 0 0 2 0 -3
з д уд~у 0 0 0 1 0 0 1 0
Можно проверить, что векторы (3,0,1,0,0,1,0,3) и
(0,1,0,3,- -3,0,-1
являются левыми собственными векторами данной матрицы, отвечающими
нулевому собственному значению. Следовательно, ad L(H3) имеет дополнение
размерности не менее двух. Дальнейшие несложные расчеты показывают, что
столбцы 1, 2, 3, 4, 5 и 8 линейно независимы, так что ad L(H3) имеет
размерность шесть. В качестве базиса в дополнении G3 можно взять
векторные поля (х2 + у2)(х(д/дх) + у(д/ду)) и (х2 + у2)(-у(д/дх) +
+х(д/ду)). В терминах систем дифференциальных уравнений мы показали, что
теорема о нормальной форме предоставляет преобразование координат,
переводящее систему
х = -у + о(\х\, \у\),
186
Глава 3
к виду
й = -V + (аи - bv)(u2 + v2) + . . .,
22 (3.3.15)
v = и + (av + bu)(u -\- v ) + . ..,
где а,Ь - подходящие константы, а многоточия обозначают члены более
высокого порядка. Этот результат играет важную роль в анализе бифуркации
Хопфа, приведенном в разделе 4 данной главы.
В общем случае, обозначая матрицу ad L от Н4 как Л/4, получим, что ad
L(H4) является пространством столбцов этой матрицы (при подходящем
обозначении векторных полей). Таким образом, если М4 имеет нулевые
собственные значения, то, как следует из известных результатов линейной
алгебры, в качестве пространства Gk, дополнительного к ad L, можно взять
линейную оболочку левых собственных векторов матрицы Mk с нулевым
собственным значением: Gk = span{ej}. (Каждый из векторов ej
автоматически ортогонален каждому столбцу Л/4.) Однако такой выбор Gk
далеко не единственен и не обязательно самый удобный. В частности, в
вышеприведенном примере вместо выбора векторных полей (За;2 + у2)х? +
(а;2 + 3У2)Ущ и (а;2 + 32/2)у? - (За;2 + У2)х^,
соответствующих упомянутым левым собственным векторам, лучше взять С?з =
span{(l, 0,1,0, 0,1,0,1), (0, -1,0, -1,1, 0,1,0)},что приводит к
нормальной форме (3.3.15). Читатель может проверить, что последние два
вектора в совокупности с шестью столбцами Л/3 составляют базис в //3.
Более того, как мы увидим в разделе 3.4, они имеют особенно простое
представление в полярных координатах.
Заметим также, что если линейная часть L исходного векторного поля
симметрична относительно некоторой компактной группы преобразований (т.
е. L эквивариантно), то Gk также можно выбрать инвариантным относительно
той же группы. Этот факт будет играть важную роль при нашем обсуждении
