Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
быть приведено к следующей форме (см. уравнение (3.3.15)):
х = (dy + а( х2 + у2))х - (со + су + Ь( х2 + у2))у, у = (со + су + Ь( х2
+ у2))х + (dy + а(х2 + у2))у,
которая в полярных координатах выражается соотношениями
г = (dy + ar2)r, в = (со +су + Ьг2).
(3.4.8)
(3.4.9)
Поскольку в уравнениях (3.4.9) выражение для г не содержит в, то мы
видим, что существуют периодические орбиты системы (3.4.8),
представляющие собой окружности г - const, получаемые из ненулевых
решений уравнения г = 0 в (3.4.9). Если а ^ 0 и d ^ 0, то эти решения
лежат на параболе у = -ar2/d. Отсюда следует, что поверхность
периодических орбит имеет квадратичное касание со своей касательной
плоскостью у = О в I2 х 1. Содержанием теоремы о бифуркации Хопфа
является независимость качественных свойств системы (3.4.8) вблизи начала
от добавления к ней членов более высокого порядка:
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
195
Теорема 3.4.2 (Hopf [1942]). Допустим, что система х = /ц(х), х ? R", р ?
К имеет положение равновесия (хо,ро) со следующими свойствами'.
(HI) Dxf^0 (хо) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений и не
имеет других собственных значений с нулевой вещественной частью.
Тогда существует гладкая кривая равновесий (х(р, р), где х(ро) = = хо.
Собственные значения Х(р), Х(р) матрицы Dxf^ (х(р)), являющиеся мнимыми
при р = ро, зависят от р гладким образом.
Если, кроме того,
(Н2)
-|-(ReAQit))| =d + О,
то существует единственное трехмерное центральное многообразие,
проходящее через точку (хо,ро) ? xl, к гладкая система переменных
(сохраняющая плоскости р = const), в которой разложение Тейлора до
третьей степени на центральном многообразии дается формулой (3.4.8). Если
а ф 0, то существует поверхность периодических решений на центральном
многообразии, имеющая квадратичное касание с собственным пространством
для значений \(ро), Х(по) и совпадающая во втором порядке с параболоидом
р = -{a/d){х2 + у~). В случае а < 0 эти периодические решения являются
устойчивыми предельными циклами, а в случае а > О периодические решения
являются репеллерами.
Эту теорему можно доказать, непосредственно применяя приведенные выше
теоремы о центральном многообразии и о нормальной форме.
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.4. Найдите бифуркации Хопфа для вариационного уравнения
Ван дер Поля (2.1.14).
Упражнение 3.4.5. В уравнении Дуффинга
х + рх + (х - х3) = О
бифуркация с чисто мнимыми собственными значениями происходит при р = О,
если в системе отрицательная диссипация сменяется положительной. Однако
она является вырожденной. Почему? Вычислите нормальную форму до членов
третьей степени. Какие модификации можно сделать, чтобы превратить
бифуркацию в "типичную", т. е. удовлетворяющую гипотезам (Н1), (Н2)?
В системах большой размерности, вычисление нормальной формы (3.4.8) и
кубического коэффициента а, определяющего устойчивость, может быть
основательным мероприятием.
196
Глава 3
В двумерной системе вида
О -со со О
аЛ , / f(x,y) у) \У(х,у)
(3.4.10)
где /(0) = 5(0) = 0 и 19/(0) = Dg(0) = 0, вычисление нормальной формы,
кратко описанное в приложении к данному разделу, приводит к такому
результату:
Здесь fxy = (d2f/dxdy)(0,0) и т.д.1 Применяя эту формулу в системах
размерности больше двух, читатель должен помнить, что квадратичные члены
играют роль в вычислении центрального многообразия и могут влиять на
величину а. Нельзя найти а путем простой проекции системы уравнений на
собственное пространство ±гсо, необходимо аппроксимировать центральное
многообразие, по крайней мере, до квадратичных членов (см. упражнения
3.2.4(b) и 3.4.8 ниже). Как пример использования этого алгоритма и
важности квадратичных членов при определении определяющего кубического
члена нелинейной нормальной формы, вернемся к задаче из раздела 1.8
(уравнение (1.8.20)). Замена координат (х,у) = (? + 1,г/ + 1) приводит
эту систему к виду
Собственные значения равны ±г, и посредством следующего преобразования
(3.4.12)
(3.4.13)
мы получаем систему в "стандартной форме":
и
V + UV - V2,
(3.4.14)
V = и + UV.
1 Chow и Mallet-Pare [1977] предложили альтернативную, но эквивалентную
формулу, полученную при помощи метода усреднения.
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
197
Очевидно, что все произвольные третьего порядка тождественно равны нулю,
и мы имеем
fuu = 0? fuv = 1? fuv = - 2, ^ ^
Яии = 0? Quv - 1; Quv - 0;
откуда
"=^[1(-2)] = -|<0, (3.4.16)
так что неподвижная точка (1,1) является (слабо) устойчивым стоком, как и
утверждалось в разделе 1.8.
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.6. Определите тип устойчивости для вырожденной неподвижной
точки (х, у) = (0,0) для системы
х = -у + ау2 + /Зх2 у,
У = х - -/у2 + 5ху - у3.
Каким образом зависит устойчивость от коэффициентов а, /3, у, <5?
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.7. Покажите, что система х + ух + vx + х2х + х3 =
0 испытывает бифуркацию Хопфа на прямых Вг{у = 0 | v > 0} и В2{у
= v \ у1 v < 0}.
Покажите, что первая из них суперкритическая и происходит в неподвижной
