Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1 • , а а
-х+ гг-У
(¦и + crv)w,
1+(Т 1 + СГ 1 + СГ
- а 1 + СГ
(:у-х)
1 + СГ
{(х - у) - xz]
v = г-^-х - гг^-у = -х)~ Y~^^x -у)~ xz\ =
(3.2.8)
1+(Т 1 + СГ 1 + СГ
= -(1 + сг )v + ^ ^{и + crv)w,
w = z = -flz + ху = -fiw + [и + crv){u - гг),
168
Глава 3
или
О ¦
о
-/3
^ --^(и + <jv)w \
-!- (и + av)w,
1 + сг 4 '
\ (и + сгг;)(и - v) /
(3.2.9)
так что линейная часть имеет теперь стандартную (диагональную) форму. В
координатах (и, v, w) центральное многообразие является некоторой кривой,
касательной к оси и. Заметим, что проектируя данную систему на ось и,
полагая v = w = 0 в уравнении для й, получим й = 0. Однако ось и
неинвариантна, поскольку уравнение для w содержит член и2. Тем не менее,
если мы сделаем еще одно (нелинейное) преобразование координат по формуле
w = w - и2 /(3, то получим
w = w - = -fi(w - + (сг - 1 )uv - av2 + -ги(и + av)w,
Р v Р / р(1 + а)
или
w = -(3w + (а - 1 )uv - av2 + --^-zu(u + <rv)(w + . (3.2.10)
v ' (3(1 +a) \ /3/
В системе координат (и, v, ui) имеем
й = -j^{u + av)(w + 30. (3.2.11)
Проекция данного уравнения на ось и в новых координатах приводит к
уравнению й = (-а/(3(1+а))и3. Заметим также, что в уравнениях для v и w
отсутствуют члены вида и2, поэтому ось и инвариантна в преобразованной
системе "во втором порядке".
Дальнейшие попытки отыскания центрального многообразия могут быть
основаны на дополнительных преобразованиях координат, целью которых
является превращение оси и в инвариантное относительно данного потока
множество. Это можно сделать итеративно при помощи замен переменных v ж
w, добавляющих к этим координатам мономы относительно и подобно тому, как
из w было получено и>. Такие дополнительные замены координат не изменят
коэффициент (-сг//3(1 + сг)) при и3 в уравнении для й, но повлияют на
члены старшей степени вида ит, т (р 4. Как мы увидим в последующих
разделах, уравнение й = (-а/(3(1 + а))и3, наряду с эффектом изменения р
вблизи единицы, позволяет сделать качественные
3.2. Центральные мноеообразия
169
выводы о бифуркации в системе Лоренца (и исходной жидкостной системе).
Очевидно, что важно включить в этот анализ вычисление первых членов
разложения центрального многообразия в ряд Тейлора. Если этого не
сделать, получится ошибочная картина поведения в точке бифуркации.
При изучении примера Лоренца мы действительно сделали попытку
аппроксимировать (одномерное) уравнение, описывающее поток на центральном
многообразии. Представим теперь систематический метод построения таких
аппроксимаций.
Как следует из теоремы о центральном многообразии, в окрестности точки
бифуркации исследуемая система топологически эквивалентна систе-ме _
_
х = f(x),
у = -у, {x,y,z) ewc xWs xWu, (3.2.12)
Теперь мы возьмемся за решение задачи вычисления "редуцированного"
векторного поля /. Для простоты, а также ввиду наибольшей важности в
физических проблемах, мы ограничимся случаем, когда неустойчивое
многообразие пусто (общий случай обсуждается в конце данного раздела), а
линейная часть системы, испытывающей бифуркацию, имеет блочно-
диагональную форму:
x = Bx+f(x,y) , ч
! ОпуеНГх К(tm), (3.2.13)
у = Су + д(х,у) V ,У> У
где В и С - квадратные матрицы порядков пят, собственные значения которых
имеют нулевые и отрицательные вещественные части соответственно, а
функции / и д обращаются в начале координат в нуль вместе со своими
частными производными первого порядка.
Поскольку центральное многообразие касается Ес (пространство у = = 0), мы
можем представить его (локально) в виде графика
Wc = {{x,y)\y = h{x)}; /ДО) = Dh{0) = 0, (3.2.14)
где функция h: U -> Rm определена в некоторой окрестности U С М" начала
координат, см. рисунок 3.2.4. Рассмотрим теперь проекцию векторного поля
при у = h(х) на Ес:
х = Вх + f(x,h(x)). (3.2.15)
Поскольку h(x) касается подпространства у = 0, решение уравнения (3.2.15)
дает хорошую аппроксимацию для потока х = fix), суженного на Wc.
Действительно, справедлив такой результат.
170
Глава 3
Рис. 3.2.4. Центральное многообразие и спроектированное векторное поле.
Теорема 3.2.2 (Henry [1981], Carr [1981]). Если точка х = 0 в системе
(3.2.15) локально асимптотически устойчива (соответственно, неустойчива),
то и начало координат в системе (3.2.13) локально асимптотически
устойчиво (неустойчиво).
Данный результат следует также из теории глобальной линеаризации (Pugh,
Shub [1970]).
Покажем теперь, как можно вычислить, или, по крайней мере,
аппроксимировать функцию h(х). Подставляя равенство у = h(x) во второе
уравнение (3.2.13) и используя теорему о дифференцировании сложной
функции, получим
у = Dh(x)x = Dh(x)[Bx + f(x, h{x))\ = Ch(x) + g(x, h(x)),
или
jV(h(x)) = Dh{x)[Bx + /(x, h{x))\ - Ch(x) - g{x, h{x)) = 0, (3.2.16)
с граничными условиями
h{ 0) = Dh( 0) = 0.
Данное уравнение в частных производных относительно h в большинстве
случаев не может быть, разумеется, решено точно (это означало бы, что
найдено решение исходного уравнения), однако его решение можно
