Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
01 =сщ + 0(М2),
62 = и>2 + 0(\г\2),
(7.5.1)
1См. Гаврилов [28]. - Прим. ред. перев.
488
Глава 7
где fii, Ц2 - параметры деформации. Как и ранее, мы можем много узнать о
динамике этой системы из рассмотрения плоского векторного поля,
получаемого путем игнорирования азимутальных компонент.
Вначале выполним масштабирование для уменьшения числа коэффициентов.
Полагая г\ = гу у/|ац |, г2 = ту уДауэ], опуская черту сверху и при
необходимости масштабируя время, получим систему
fl = riipi +r\+ Ьг\), Г2 = Г2(Н2 + сг\ + dr\),
d = ±1,
(7.5.2)
где Ъ = а.12/1<2-221, с = <221 /|<2ц|. Как показал Takens [1974а], 3-
струя для (7.5.1) при hi = 7*2 = 0 является определяющей (по отношению к
возмущениям старших порядков, обладающим подходящей симметрией) при
условии, что <2jj ^ 0 и aii<222 - <212021 7^ 0, откуда следует, что в
(7.5.2) d-Ъсф 0. Далее мы будем полагать эти условия выполненными. Takens
обнаружил девять топологически различных классов эквивалентности,
некоторые из которых показаны на рис. 7.5.1 и в таблице 7.5.1.
Таблица 7.5.1. Девять вырожденных неподвижных точек Тип 1: Две
инвариантные прямые: (1 - c)(d - Ъ) < 0. la: d = +1, любые
подходящие значения Ь, с (Takens la, Id)
lb: d = - 1, с > 0 > Ь, - 1 - Ьс > 0 (Takens lb)
lc: d = - 1, все остальные значения Ъ, с (Takens 1с)
Тип 2: Три инвариантные прямые: (1 - c)(d - Ъ) > 0.
2а: d = +1, (1 - Ьс)/{1 - Ь) > 0, все подходящие значения Ь, с
(Takens H'a,IFd)
2b: d = +1, (1 - be)/(1 -b) <0, все подходящие значения b, с (Takens
ITe)
2c: d = -1, (-1 - bc)/(-1 - b) > 0, b < -1, с < 1
(Takens H'b)
2d: d = -1, (-1 - bc)/(-1 - b) < 0, b < -1, с > 1
(Takens II'c)
2e: d = -1, (-1 - bc)/(-1 - b) < 0, b > -1, с < 1
(Takens II'b)
2f: d = -1, (-1 - bc)/(-1 - b) > 0, b > -1, с < 1
(Takens II'c)
Заметим, в частности, что инвариантные прямые, проходящие через начало
координат г2 = \/(1 - c)/(d - Ъ)г\, существуют при условии (1 - - с)/(d -
Ь) > 0, но, в отличие от Takens, мы не делаем различия между фазовыми
портретами, эквивалентными при обращении времени. Например, случаи 1а и
Id здесь объединены в 1а. В свою очередь, Takens допускал перестановку гу
и Г2, в отличие от нашего подхода, при котором зафиксирован коэффициент
при rf, равный единице. На рисунке 7.5.1 показан лишь положительный
квадрант на плоскости (гу,г2), так как фазовые портреты симметричны
относительно обеих осей. Рисунок 7.5.1 следует рассматривать в
совокупности с таблицей 7.5.1, в которой для удобства приведена
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
489
Рис. 7.5.1. Девять фазовых портретов для вырожденного векторного поля.
Отметим, что 2с и 2е, 2d и 2f соответственно топологически эквивалентны,
если мы разрешаем обращение времени и отражение относительно диагональной
инвариантной прямой.
также классификация Takens (в опубликованном варианте статьи Takens
некоторые рисунки неверно пронумерованы).
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.1. Проверьте правильность фазовых портретов на рис. 7.5.1,
в частности, направлений потока на инвариантных прямых и в секторах между
ними. Покажите, что при d = ±1 и Ь, с, d - Ьс ф 0 не существует
топологических типов, отличных от представленных (см. раздел 1.8,
уравнение (1.8.23) и упражнение 1.8.11).
Приведенная выше классификация вырожденных неподвижных точек не вполне
удобна при изучении деформаций. При этом мы имеем двенадцать различных
случаев, перечисленных в таблице 7.5.2 (отметим, что в более ранних
работах, в которых изучались такие развертки (Holmes [1980d], loss,
Langford [1980]), применялась другая схема нумерации).
490
Глава 7
Таблица 7.5.2. Двенадцать деформаций.
Случай la lb II III IVa IVb V Via VIb Vila Vllb
VIII
d + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
Ъ + + + - - - + + + - - -
с + + - + - - + - - + + -
d - be + - (+) (+) + - (-) + - + -
(-)
Данная классификация основана на анализе вторичных бифуркаций типа
"вилка" из нетривиальных положений равновесия плоского векторного поля.
Заметим, что точка (ri, г2) = (0,0) всегда является положением
равновесия, кроме того, в положительном квадранте могут иметь место до
трех следующих положений равновесия:
(п,г2) = (У-Д1, о) при /Л < 0,
("Т ,г2) = (0, y/-n2/d) при ii2d < 0,
/ \ ( bfi2 - dm с/ц - д2\ Ъц2 - dm c/ii - Д2 n
4 • V-Д--J ПрИ A ' A '
(7.5.3)
где A = d - ben d = ±1.
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.2. Покажите, что бифуркация типа "вилка" из точки (0,0)
происходит на прямых /тi = 0 и /т2 = 0, из точки (а/-/ц, 0) - на прямой
/т2 = с/тi, а из точки (0, - ^/-/i2/d - на прямой /т2 = djii/b.
Исследуйте типы устойчивости этих бифуркаций.
Аналогично предыдущему разделу, поведение системы остается сравнительно
простым до тех пор, пока в ней не происходят бифуркации Хопфа из
неподвижной точки (ri,r2) = (\/bfi2 - dfii)/A, (cfi\ - д2)/Д). Для
обнаружения таких бифуркаций линеаризуем уравнения движения в окрестности
этой неподвижной точки. В итоге получим матрицу
Д1 + 3 r\ + br\ 2Ъг\Г2
2сг\г2 д2 + сг\ + 3dr2
(7.5.4)
