Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
(7.4.24) примет вид
й = auv + ev\ и,
v = V2 + Ьи2 - V2 + efv6.
При с = 0 мы получаем вырожденную 2-струю в точке бифуркации /ri = = fj,2
= 0, и, подобно разделу 7.3, мы должны рассмотреть малые возмущения
интегрируемой системы
й = auv,
2 (7-4.30)
V = V2 + 0U - V
с интегралом (при а ф - 1)
F{u,v) = ^и2/а\и2 +~^-и2-V2] (7.4.31)
' 2 L 1 + а 1
(см. уравнения (7.4.20)-(7.4.21)). Однако здесь система негамильтонова
(если только а ф 2), а наличие дробных степеней в интеграле (7.4.31)
свидетельствует о сложности использования аналитических вычислений. Мы
лишь наметим программу действий.
Напомним, что интересующие нас случаи, в которых имеются непрерывные
семейства периодических орбит, таковы:
(Ila-IIb:) b = +1, а < 0, U2 = = -1 < 0
?
И
(III:) b = -1, а > 0, V2 = +1 > 0.
(Заметим, что, как и в разделе 7.3, мы можем без потери общности положить
V2 = ±1, так как изменения исходного параметра Ц2 можно достичь за
480
Глава 7
счет изменения е.) В первом случае мы имеем семейство неограниченных
периодических орбит, окружающих центр (u,v) = (1,0), а во втором случае -
семейство периодических орбит, окружающих центр (u,v) = (1,0) и
приближающихся к гомоклинической петле F(u,v) = 0, соединяющей седловые
точки (u,v) = (0, ±1).
Для исследования системы (7.4.29) удобнее умножить ее на коэффициент
vS2/a'>~1, получая в результате
й = auav + ev\ иа,
где а = 2/а. Поскольку при и > 0 система (7.4.32) является просто
расширенной версией векторного поля (7.4.29), то фазовые кривые этих двух
систем топологически эквивалентны. Кроме того, при е = 0 система (7.4.32)
уже гамильтонова, где роль гамильтоновой функции энергии играет функция
(7.4.31). Таким образом, если мы сможем показать, что для 0 < ? € 1 и
подходящего выбора линейных и кубических коэффициентов возмущения (7/|.
f) сохраняются изолированные замкнутые кривые уровня, то тем самым будет
доказано, что в исходной системе (7.4.29) для соответствующих значений
pi, рг и т. д. имеют место изолированные периодические орбиты. Кроме
того, если эти замкнутые кривые появляются и исчезают при изменении
параметров устойчивым образом, то такое поведение сохраняется и при
других (меньших) возмущениях плоского векторного поля, таких как
включение членов старших порядков. Однако, как мы увидим, это поведение
не целиком переносится на трехмерный поток.
Применяя к данной проблеме теорию Мельникова1 из разделов 4.5-4.6, а
также теорему Грина, мы придем к выводу, что данная кривая уровня Г
функции F будет сохраняться для значений параметра, близких к ро, если
только интеграл
имеет простой нуль по отношению к р при р = ро. В данном случае
дивергенция равна
tr DI = аР1иа~г + 3fua~1v2 = {av\ + 3/w2)m"_1; а = 2/а. (7.4.34)
(Мы автоматически имеем tr Dk = 0, так как к гамильтонова.)
Следовательно, мы должны искать в допустимом диапазоне такие значения К,
для
'Точнее говоря, теорию Пуанкаре-Понтрягина. - Прим. ред. перев.
(7.4.33)
int Г
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 481
которых F 1 (К) является замкнутой кривой Ги
а
II
vi + и2/а 1 dudv = 0.
(7.4.35)
int Га
В общем случае эти интегралы можно рассчитать численно, а в частном
случае К = 0, рассмотренном в работе Keener [1981] и соответствующем
гомоклинической петле в случае III, они сводятся к гамма-функциям. Тем не
менее, Zholondek [1984] провел оценку данных интегралов для общего случая
и доказал, что корни уравнения (7.4.35) определяют v\ как некоторую
монотонную функцию от К, если / ^ 0. Следовательно, существует диапазон
значений параметра, в котором (7.4.24) имеет единственный предельный
цикл. Здесь мы приведем лишь простейшие расчеты, чтобы выяснить
местоположение гомоклинических орбит и бифуркаций Хопфа при а = 2 (а =
1), так как в этом случае вычисления по алгоритмам Мельникова приводят к
эллиптическим интегралам, а граничные значения К, соответствующие
гомоклиническим орбитам и бифуркациям Хопфа, определяются из элементарных
интегралов.
Уравнение (7.4.35) принимает вид (после сокращения на а)
см. рисунок 7.4.9.
Кривая на уровне К = 0 содержит гомоклиническую петлю с двумя седловыми
точками. Интегрирование формулы (7.4.36) при К = 0 приводит к следующим
интегралам:
(7.4.36)
int Г а-
и кривые на уровне К задаются формулой
(7.4.37)
Уз _________________________________ Уз
2\ 3/2
du.
(7.4.38)
о
о
Вычисление этих интегралов приводит к такому результату:
^(4it1+3/) = 0.
(7.4.39)
482
Глава 7
(0,-1)
(ОД)
,(V3,0)
Рис. 7.4.9. Невозмущенные линии уровня (7.4.34) (случай III, а = 2).
Это уравнение определяет расположение гомоклинических петель (с точностью
до величины порядка е), откуда в переменных, использовавшихся до
масштабирования, получим для кривой гомоклинической бифуркации
(Напомним, что в случае III, в котором существует гомоклиническая орбита,
мы имеем U2 = +1, Ъ = -1.)
При определении устойчивости гомоклинической петли заметим, что два седла
расположены в точках (u7v) = (0, ±1 + sf/2) + 0(s2). Сумма логарифмов
