Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
рис. 7.4.2).
(r,z) (0, +VM2) (0, -л/Щ)
Mi > -а^/ДД седло исток
-аДд2 > Mi > ОуДч СТОК исток
аУМ2 > Mi сток седло
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.4. Исследуйте бифуркации, происходящие при Ц2 = Mi/°2> Mi
ф 0 и ji2 = 0, jii ф 0 для этого случая. В частности, покажите, что если
ji2 проходит через значение м?/°2 Д(tm) Mi > 0 (соответственно, /ц < 0), то
верхнее (соответственно, нижнее) седло испытывает бифуркацию "вилка".
472
Глава 7
Однако поведение в данном случае третьей неподвижной точки (г, z) = =
(л/р2/а2 - т"2, -pi/a) существенно отличается от предыдущего. Здесь
матрица линеаризованной системы (7.4.17) имеет собственные значения
(7.4.19)
^1,2 = ± \1 ^ + ^(р? - а2р2), (7.4.18)
поэтому точка будет стоком при pi > 0 и истоком при pi < О (если ^2 <
р?(2 + 1/о)/2о2, то собственные значения комплексно сопряжены). При
трансверсальном переходе через прямую pi = 0 для р2 < О в этой точке
происходит, как можно проверить, бифуркация Хопфа. Однако при вычислении
коэффициента устойчивости методами раздела 3.4 оказывается, что аз = 0,
что свидетельствует о необходимости включения в нормальную форму, по
крайней мере, членов третьего порядка для определения динамики системы
при этой бифуркации. Действительно, для pi = О система
г = arz,
Z = Р2 + Г2 - Z2
вполне интегрируема, поскольку функция
F(r, z) = |r2/a [p2 + ~ z2] (7.4.20)
постоянна вдоль решений.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.5. Проверьте вышеприведенное утверждение, а также
равенство нулю коэффициента устойчивости в бифуркации Хопфа для (7.4.19).
Собирая полученную выше информацию, мы можем изобразить бифуркационное
множество и фазовые портреты для случаев Па, ПЬ (рисунок 7.4.4). Заметим,
что частичные деформации, полученные на этом этапе, не отличаются от
подслучаев а е [-1,0) и а < -1.
Теперь приведем без вывода бифуркационные множества и фазовые портреты
для двух оставшихся случаев III и IVa, b для Ъ = - 1. Отметим, что случай
IVa, b вполне прост и результаты сопоставимы со случаем I, в котором
неподвижная точка (г, z) = (у/рг - Pi/a2, -pi/а) не испытывает вторичной
бифуркации Хопфа, а остается седлом во всей области своего существования
рг > pf/a2. Однако при а > 0 эта точка испытывает бифуркацию Хопфа,
устойчивость которой вновь не определяется 2-струей. В этом случае также
имеется первый интеграл
G(r, z) = \т21а - YT~a - z'г)' <7A21)
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 473
И2=И\/а2
/Ч=//12(2+ /а)/2а2
Рис. 7.4.4. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для
случая Ila-IIb; b = +1, о < 0. Фазовые портреты на кривой Ц2 - ui/а2, цi
/ 1 топологически эквивалентны портретам над двумя ветвями этой кривой
(сравните с рис. 7.4.3).
Читатель может проверить, что dG/dt = (dG/dr)r + (dG/dz)z = 0 на решениях
системы
г = arz,
9 9
Z = (12 - Г - Z .
(7.4.22)
Это позволяет прийти к выводу о существовании в случае III
однопараметрического семейства периодических орбит, оканчивающихся
гомоклиниче-ским циклом, соединяющим седловые точки (г, z) = (0, ±у)Й2)
Для Mi = 0>
474
Глава 7
Рис. 7.4.5. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для
случая III; b = -1, о > 0. Фазовые портреты на кривой Ц2 - Mi/а2
топологически эквивалентны портретам под двумя ветвями этой кривой.
М2 > 0. Бифуркационные множества и фазовые портреты приведены на рисунках
7.4.5 и 7.4.6.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.6. Проделайте вычисления устойчивости и бифуркаций,
необходимые для проверки правильности фигур на рисунках 7.4.5 и 7.4.6.
Мы назвали фигуры 7.4.4 и 7.4.5 частичными бифуркационными множествами и
фазовыми портретами, так как квадратичных членов, включенных в 2-струю
(7.4.9), недостаточно в этих случаях для определения типа
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 475
Рис. 7.4.6. Бифуркационное множество и фазовые портреты для случая IVa-
IVb; Ъ - - - 1, о < 0. Фазовые портреты на кривой Д2 = /о /а2
топологически эквивалентны портретам под двумя ветвями этой кривой.
бифуркации Хопфа. Мы вскоре вернемся к этому вопросу, рассмотрев сначала
следствия из полученных в случаях I и IVa, b разверток для полного
векторного поля (7.4.1)-(7.4.2), с которого мы начали.
Заметим, что в то время как неподвижные точки на оси z (г = 0)
соответствуют неподвижным точкам полной системы, неподвижные точки
(ro,zo) для го > 0 соответствуют периодическим орбитам. Это можно уяснить
из рассмотрения двумерного сечения Пуанкаре
X = {(г, в, z) | в = 0; г > 0 г, \z\ достаточно малы}
476
Глава 7
сечения Пуанкаре
(а)
*
I*
t
(Ь)
X
Рис. 7.4.7. Два трехмерных фазовых потока, соответствующих деформациям
плоского векторного поля: (а) случай 1, pi > О, Ц2 € (0, /if/а2); (b)
случай IVa-IVb,
^ 2/2 М2 > Mi/a .
для трехмерного потока развернутой системы1
г = Mi + arz + 0(3),
в = cj + 0(r2,^2), (7.4.23)
- (-i2 - 2^ -\- 0(3),
в предположении, что плоская система (7.4.9) имеет гиперболическую
неподвижную точку (го, го), го > 0, где го, |го| 1. Очевидно, что
окружность 7 = {(r,9,z) \ г = го, z = zq, в G [0,27г)} является
