Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
анализ динамики проводится в пространствах низкой размерности. Более
подробное обсуждение каждого из рассматриваемых примеров можно найти в
цитируемой литературе, здесь же представлены лишь основные моменты
исследования.
Желательно представить системы с бесконечным числом степеней свободы как
гладкие потоки на бесконечномерных функциональных пространствах.
Необходимость использования функционального анализа для строгой
формальной реализации этой идеи значительно усложняет наше исследование.
Эту сложность в значительной степени удается преодолеть, применяя
подходящий вариант теоремы о центральном многообразии (теорема 3.2.1),
дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в книгах Marsden,
McCracken [1976], Holmes, Marsden [1978], Henry [1981] и Carr
[1981]. В рассматриваемых нами примерах теорема о центральном
многообразии (Marsden-McCracken) предполагается применимой, и формальные
вычисления ведутся на ее основе.
Мы хотим отыскать для данной системы точки, в которых имеют место кратные
бифуркации. Особый интерес представляют такие положения равновесия, для
которых весь спектр лежит в левой полуплоскости, за исключением
нескольких собственных значений на мнимой оси. Именно такая ситуация
возникает при потере устойчивости положения равновесия, и мы надеемся
отыскать новые асимптотические состояния со сложной динамикой,
определяемой нормальной формой. Определение таких точек кратных
бифуркаций зачастую является трудноразрешимой проблемой, которую редко
удается решить полностью в реальных задачах. Однако в типовых задачах
некоторые дополнительные аспекты, например симметрия, часто позволяют
упростить вычисления.
Мы рассмотрим два примера, служащих иллюстрацией данного общего подхода.
Пример I. Первым из описываемых примеров является термосолевая конвекция
в слое жидкости. Горизонтальный слой несжимаемой жидкости глубины d имеет
фиксированную температуру и концентрацию соли на верхней и нижней
границах. И температура, и концентрация соли влияют на плавучесть
жидкости, и мы полагаем эту зависимость линейной. Динамика описывается
следующей системой уравнений:
vt + v • Vv = jjVp + g(aT - /3S) + ^V2v, div v = 0,
9T , yjrji AT i -c-rZrp dS . yjq AS i V72 c
--h v • Vi - vj-- = kv 1, - + v • vb - vj-- = ksv S, at d dt d
(7.6.1)
где v - скорость жидкости, w - вертикальная компонента скорости, Т -
отклонение температуры от линейной функции, S - отклонение концентра-
7.6. Приложения к многомерным системам
505
ции соли от линейной функции, АТ - разность температур поперек слоя
жидкости, р - плотность, р - давление, g - гравитационный вектор, к -
термодиффузия, ks - солевая диффузия, v - кинематическая вязкость, а -
зависимость плавучести от температуры, /3 - зависимость плавучести от
концентрации соли.
Подробности вывода этих уравнений можно найти в работе Huppert, Moor
[1976]. Общие сведения о конвекции и потоках, возбуждаемых плавучестью,
можно найти в Turner [1973]. Приведенный ниже анализ был стимулирован
изучением работ Knobloch, Proctor [1981], DaCosta et al. [1981],
Knobloch, Weiss [1981], в которых для изучения усеченных моделей
использовались амплитудные разложения, что по существу совпадает с
применяемыми нами нормальными формами. Siegmann, Rubenfeld [1975] вывели
такие же уравнения для модели термосолевой конвекции в петле. Затем
Guckenheimer, Knobloch [1983] использовали методы центрального
многообразия в аналогичной, с математической точки зрения, задаче о
конвекции во вращающемся слое и непосредственно сравнили полученные
результаты с амплитудными разложениями. Кроме того, Carr, Muncaster
[1982] рассмотрели задачу в петле с позиции теории центральных
многообразий.
Будем изучать движения, для которых //-компонента скорости равна
тождественно нулю. Введем для скорости функцию течения ip и исключим из
(7.6.1) слагаемое, содержащее давление, взяв ротор от первого уравнения.
После масштабирования система (7.6.1) примет такой вид:
где J(f,g) = fxgz - fzgx, а = v/k, т = ka/k, a RT = gaATdP/kv, Rs = =
gpjASd /kv - числа Рэлея.
Для облегчения вычисления спектра линеаризованной в окрестности
тривиального решения tp = Т = 5 = 0 системы (7.6.2) возьмем граничные
условия ip = tpzz = Т = 5 = 0 при z = 0 и z = 1. Отметим, что эти условия
не соответствуют большинству экспериментов. Однако они имеют то
преимущество, что собственные функции линеаризованной системы для решения
в виде чистой проводимости имеют простую форму:
a~1V2ipt - v-'Jitp, V2ip) = -RTdxT + RsdxS + VV Tt + ipx - J(ipj T) =
v2T,
5t+^-J(^,5) = tV25,
(7.6.2)
'tp\ /tposimrkx
T I (x,z,t) = eXt smnnz I Tocosirkx
Sq cosirkx
506
Глава 7
где (р, г], к) удовлетворяют уравнениям
Л3 + (<т + т + 1 )к2\2 + ((<т + т + ат)к4 - тт2 ат2 к~2 (Rt - i?s))A+
+ атк6 + ir2aK2(Rs - tRt) = 0 (7.6.3)
к2 = 7г2(гг2 + к2).
Собственные значения с максимальной вещественной частью соответствуют
значениям к2 = п = 1. Это может быть простой нуль, пара
