Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
отношению к вращениям вокруг направлений, соответствующих мнимым
собственным значениям. Если такой симметрией обладают и исходные
векторные поля, то гомоклинические и гетероклинические орбиты, которые
могут встретиться, необходимо вырождены, и фазовые портреты можно описать
полностью. Однако, если полные векторные поля несимметричны,
гомоклинические явления можно описать лишь в терминах трех- и
четырехмерных потоков соответственно. Следовательно, в общем случае можно
ожидать встретить все сложности, присущие примерам Шильникова и Newhouse
из разделов 6.5-6.7. Полному анализу данных локальных проблем должно,
очевидно, предшествовать более ясное понимание этих глобальных явлений.
Заметим, что частичные результаты в обсуждаемых проблемах были получены в
работах Keener [1976, 1981], Langford [1979] и loss, Langford
[1980] при помощи методов теории возмущений и редукции Ляпунова-
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 465
Шмидта. Эти результаты существенно ограничены анализом некоторого
плоского векторного поля и мало что говорят о наличии глобальной
хаотической динамики, которая может возникнуть в конкретных случаях.
Здесь мы вновь получим эти результаты при помощи теории нормальных форм,
а затем продолжим рассматривать следствия для полных трех- и
четырехмерных потоков, существенно используя результаты по глобальным
бифуркациям из главы 6. Holmes [1980d] и Guckenheimer [1981] являются
более ранними работами о данных глобальных явлениях в обсуждаемом
контексте1.
Используя методы раздела 3.3, читатель может проверить, что нормальную
форму вырожденной /с-струи с линейной частью
Как и в случае простой бифуркации Хопфа, обсужденной в разделе 3.4, эта
/с-струя не содержит членов, зависящих от в, для сколь угодно большого к,
так как нормальную форму можно выбрать инвариантной по отношению к
вращениям вокруг оси г. Таким образом, радиальную компоненту в уравнениях
(7.4.2) можно отделить, и мы имеем дело, по крайней мере вначале, с
вырожденным двумерным векторным полем с особой симметрией, выражаемой
четностью первой и нечетностью второй его компоненты по отношению к г.
Тем не менее, нам придется в конце концов восстановить члены, не
обладающие вращательной симметрией и находящиеся "в хвосте" тейлоровского
разложения, при возврате к полной трехмерной задаче.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.1. Вычислите нормальную форму для систем с линейной частью
(7.4.1) вплоть до членов третьего порядка и убедитесь, что в полярных
координатах она действительно имеет вид (7.4.2).
Теперь перейдем к классификации и развертке данной вырожденной
сингулярности. Обрывая разложение на членах 0(\r, z\2) и опуская
уравнение для в, получим плоскую систему
Как показал Takens [1974а], эта система определяется вторым порядком при
условии, что a\,b\,b2 ф 0 и 62 - а\ ф 0 (если 62 - а\ < 0, то требуется
(7.4.1)
удобно записать в цилиндрических координатах:
г = a\rz + а,2Г3 + a^rz2 + 0(|r, z|4),
Z = b\r2 + b2Z2 + bzr2Z + 64Z3 + 0(|r, z|4),
(7.4.2)
6 = LJ + 0(\r, z\2).
r = a^rz,
(7.4.3)
Z = bir2 + b2Z2.
1См. более раннюю работу Гаврилова [27]. - Прим. ред.
466
Глава 7
лишь (i\ ф 0). В этом случае можно удалить два коэффициента при помощи
масштабирования и, быть может, обращения времени. Положим г = от, ~z =
j3z, тогда уравнения примут вид
где число а = - сц/бг может быть как положительным, так и отрицательным,
но не равным нулю.
Takens [1974а] привел список пяти различных топологических типов для этой
нормальной формы. В действительности их шесть, как показано на рисунке
7.4.1, но можно заметить, что типы Ila, lib (b = +1, а < 0) и IVa, IVb (b
= -1, а < 0) можно объединить попарно, так как их деформации, как мы
увидим, по существу идентичны1.
Ключевой идеей в построении этой классификации является определение для
данного векторного поля инвариантных прямых z = кг. Подставляя угловой
коэффициент к в уравнение (7.4.5), получим для него такое условие:
Заметим, что ось z (г = 0) всегда инвариантна, а другие инвариантные
прямые z = кг существуют, если b/(a+ 1) > 0. Направление потока на таких
инвариантных прямых (и вблизи от них) легко определить по знаку
скалярного произведения векторного поля (7.4.5) и радиального векторного
поля (г, г):
s = (azr, br2 - z2) ¦ (г, z)\z_kr = azr2(a + b - к2) = ^.zr2(l +
a + b).
(7.4.7)
(7.4.4)
Задавая /3 = - 62, ol = -\f\bib2\ и сохраняя прежние обозначения для
переменных, получим из (7.4.4)
г = arz,
(7.4.5)
z = br2 - z2; b = ±1,
br2 - (kr)2 _ b-k2 ar(kr) ak '
или
(7.4.6)
'Детали см. в Гаврилов [1978]. - Прим. ред. перев.
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 467
На: b=+1, ае(-1, 0).
III: Ь=-\, а>0.
IV: ?>=- 1, ае(-1, 0).
Рис. 7.4.1. Фазовые портреты в полуплоскости (г, z), (г Тг 0) для
нормальной формы (7.4.5).
Если s > 0, то поток направлен радиально наружу, а если s < 0 - то
внутрь. Для завершения представленной на рисунке 7.4.1 классификации
можно использовать другие стандартные двумерные методы (см. раздел 1.8).
