Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
при следовании вдоль однопараметрического семейства в направлении
возрастания параметра Гх мы обнаружим лишь седло-узел коразмерности
единица (см. рис. 7.1.3). Таким образом, вопрос о допустимости
возмущений, разрушающих симметрию нормальной формы в точке бифуркации,
необходимо рассматривать при решении бифуркационных проблем.
В случае бифуркации Хопфа нормальная форма (3.4.8)-(3.4.9) проявляет
симметрию в полярных координатах:
г = [ii г + [i2r3 + а5г5 + О (г7),
(7.1.13)
в = uj + Ь\г2 + 62И + 0(г6).
Заметим, что эти уравнения инвариантны симметрии (г, в) -> (-г, в). Здесь
нормализация проведена до пятого порядка, причем коэффициент третьего
порядка (а) заменен на произвольный параметр /гг- Это оправдано в
случаях, когда знак коэффициента при г3 может меняться. Затем можно
изучить
7.1. Вырождение в членах высшеео порядка.
443
Рис. 7.1.3. Несимметричная задача.
обобщенную бифуркацию Хопфа с радиальной частью
г = а5г5 + 0(г7), (7.1.14)
изменяя независимо коэффициенты ц\, в системе (7.1.13). Далее, для
значений |r| <С 1 главная часть азимутальной компоненты системы (7.1.13)
равна ui (7> Ьгг2 + Ь2г4), поэтому поведение векторного поля вполне
определяется радиальной компонентой. Как нетрудно проверить, для
д ^ О
линия Hi = 0 будет бифуркационным множеством, соответствующим
стан-
дартной бифуркации Хопфа, субкритической при Д2 > 0 и суперкритиче-ской
при Н2 < 0. Вторым бифуркационным множеством является половина параболы
7*2=4а2щ\ g < 0, (7.1.15)
на которой сливаются и исчезают две замкнутых орбиты, одна из которых -
аттрактор, а другая - репеллер. Это бифуркационное множество и
соответствующие фазовые портреты показаны на рис. 7.1.4. Более подробная
информация содержится в Takens [1973b], Арнольд [1972] и Golubitsky,
Langford [1981].
УПРАЖНЕНИЕ 7.1.5. Вычислите бифуркационное множество для обобщенной
бифуркации Хопфа седьмого порядка
Г = г(д 1 + Д2Г2 + Дзг4 ± г6), 0 = ш + 0(г2)
и опишите соответствующие фазовые портреты.
444
Глава 7
Рис. 7.1.4. Обобщенная бифуркация Хопфа, случай аъ < 0.
УПРАЖНЕНИЕ 7.1.6. Вычислите бифуркационные множества и диаграммы для
следующих обобщенных бифуркаций Хопфа с "вырожденными" параметрами д,
(см. Golubitsky, Langford [1981]):
(а) г = (^1 + ц2)г ± г3; (6) г = + Д1Д2 + Мз)г ± г3.
(В исследовании Golubitsky, Langford подчеркнута роль "характерного
бифуркационного параметра": один из параметров (/ti ) отделяется, а
остальные рассматриваются как деформация или параметры возмущения, см.
Golubitsky, Schaeffer [1979а, b].)
7.2. Замечание о fc-струях и определенности
Исследуя векторное поле f(x), линейная часть которого в некоторой
неподвижной точке х гиперболична, мы можем воспользоваться для
определения локального фазового портрета теоремой Хартмана. В таком
случае
7.2. Замечание о fc-струях и определенности
445
будем говорить, что 1-струя Df(x) ¦ х определяет систему локально. Однако
если точка х негиперболична, то теорема Хартмана неприменима и следует
учитывать члены высших порядков. Мы уже видели в главе 3, как можно
уменьшить число таких членов при помощи нормализации ряда Тейлора.
Зададимся вопросом о том, сколько членов этого ряда нужно взять для
локального определения векторного поля с точностью до гомеоморфизма.
До сих пор мы неявно предполагали, что ненулевые члены наинизшей степени
в ряде Тейлора определяют локальный фазовый портрет и, следовательно, тип
устойчивости. Для бифуркаций Хопфа и ее обобщения, седло -узла и
бифуркации типа сборки, обсужденных в главе 3 и разделе 7.1, этот факт
нетрудно проверить, так как нормальные формы показывают, что локальное
поведение определяется одномерными системами
к
х = ^ cijX^ + 0(xk+1), (7.2.1)
J=2
или, соответственно,
к
r = Y^ ajr2j+1 + 0(г2к+3). (7.2.2)
j=i
В этих случаях ясно, что для достаточно малых значений \х\ или г можно
без ущерба пренебречь членами высших порядков.
Однако в случаях, когда размерность центрального многообразия более
единицы, ситуация становится более тонкой, и каждый случай необходимо
изучать индивидуально. Takens [1974] выполнил требуемые расчеты в трех
случаях, указанных в (7.0.1) (в третьем случае он предполагал, что
выполнены определенные нерезонансные соотношения между частотами lo\ и
шо, описанные в разделе 7.5). Мы опишем его анализ случая двойного
нулевого корня
0 1'
0 0
Df(x)
d= А.
(7.2.3)
Сначала вычислим нормальную форму. Несложные вычисления показывают, что
образ В2 оператора ad А = [-, А], описанного в теореме о нормальной форме
(теорема 3.3.1), является линейной оболочкой следующих шести векторов:
446
Глава 7
(см. упражнение 3.3.1). Эти векторы являются скобками Ли для линейной
части ( q ) и соответствующих шести стандартных базисных векторов в Ну.
Квадратичные члены вида у j можно немедлен-
но удалить, поэтому дополнительным подпространством к Г>2 в Н2 является
либо
Приведем кратко доказательство Takens [1974а], что 2-струя (7.2.8)
определяет локальный топологический тип любого векторного поля
