Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
указывает граничные условия для п компонент К, а вторая - для оставшихся
32 - п компонент. Соответственно у нас будет и четыре различных значения
для константы нормального упорядочения а, входящей в формулу N = fit- а.
Вычислить эти значения можно по правилам, описанным в разд. 6.3.1. Если
вспомнить, что-
6.3. Гетеротическая струна
351
вклад одного бозона в эту константу равен +1/24, одного периодического
фермиона -1/24 и одного антипериодического фермиона +1/48, то мы получим
__ 8 . га. 32 - п
аАА ~пТ + +
24 1 48 1 48
_ 8 , га 32 - п
аАР - 2Т + 48" 24
32 - га п
О-РА - -zt +
24 1 48 24
8 п 32 - п аРР= 24 24" 24
¦ = 1, (6.3.23)
" 1 16 (6.3.24)
= 1 ПТ' (6.3.25)
¦ - 1. (6.3.26)
Эти формулы начинают работать, как только мы вспомним, •что N может
принимать лишь целые значения. Значения N в секторе Р тоже целые, а в
секторе А они целые для состояний с четным числом фермионов мировой
поверхности и полу-делые для остальных состояний. Если п не делится на
восемь, то физических состояний в секторах АР и РА нет вообще, и •если
оба этих сектора отбросить, т. е. оставить только секторы АА и РР, в
которых все 32 фермиона %А имеют одинаковые граничные условия, то мы
вернемся к только что рассмотренной теории spin(32)/Z2. Для п, кратных
восьми, есть, в сущности, только три возможности: (i) я = 32 или 0, (ii)
п = 16, (iii) п = = 8 или 24. В случаях (i) и (ii) мы получаем для всех
четырех ¦а целые значения, а в случае (iii) значения йлр и аРА
оказываются полуцелыми. В случае (i) мы опять получаем в точности теорию
spin(32)Z2; в случае (ii)-теорию с группой spin(16)X spin(16), а случай
(iii) может привести к теории spin (24) X spin (8). Самым интересным
оказывается вариант (ii), который мы и будем в дальнейшем рассматривать.
Что же касается случая (iii), то эта теория страдает от разнообразных
однопетлевых аномалий, и ею мы вообще не будем заниматься.
Итак, в случае (ii) мы можем независимо назначать- граничные условия либо
типа А, либо типа Р для каждой из 16 координат % независимо.
Соответствующая алгебра токов, как мы уже говорили, будет иметь вид
алгебры токов для теории spin(16)X spin(16), и это, собственно говоря, и
есть вся симметрия, на которую мы имели основания рассчитывать.
Калибровочные мезоны для группы spin(16)X spin(16) появляются в секторе
АА описанной выше конструкции. Поскольку а = 1 в секторе АА, то
безмассовые левые состояния порождаются (в точности как в теории
spin(32)/Z2) действием пары осцилляторов Я,-1/г на основное состояние,
причем каждый осцилля-
352
6. Неабелева калибровочная симметрия
тор вносит по +1 /R в собственное значение N. Возникающие состояния имеют
вид
я11/2^1/2|0). (6.3.27)
По группе spin (16) X spin (16) они классифицируются так:
(120, 1) для А, В- 1, ..., 16,
(1, 120) для А, В = 17, ..., 32, (6.3.28)
(16. 16) для А= 1, ..., 16, 6=17, ...,32.
Здесь 16 и 120 обозначают соответственно векторное и присоединенное
представления группы 50(16). Если собрать вместе все эти 496 состояний с
указанным выше содержанием по группе spin(16)X spin(16), то они образуют
присоединенное представление для spin (32), и возникает неприятная мысль:
а не открываем ли мы еще одну теорию с калибровочной группой spin (32)?
Однако именно здесь нас поджидает приятный сюрприз. Поскольку и в АР-, и
в РЛ-секторах константы нормального упорядочения равны нулю, то из этих
секторов появляются дополнительные безмассовые состояния! Действительно,
без-массовые левые состояния в обоих случаях - это состояния с N = 0. В
результате квантования фермионных нулевых мод все состояния в секторе РА
(или АР) станут преобразовываться как спиноры по первой (или второй)
группе spin (16), в точности так, как это случилось для рамоновского
сектора в гл. 4. Итак, если обозначить два спинорных представления группы
spin (16) как 128 и 128', то безмассовые левые состояния в секторах РА и
АР примут следующий вид:
РА: (128, |)ф(|28', 1),
АР: (1, 128)0(1, 128'). 1
Однако когда левые безмассовые состояния из (6.3.28) и
(6.3.29) тензорно умножатся на безмассовые состояния из правого
сектора, то они породят суперсимметричные янг-миллсов-ские мультиплеты, и
если мы действительно ожидаем получить осмысленную теорию, то они должны
образовывать алгебру Ли. Однако такой алебры Ли, которая бы имела по
группе spin(16)X Xspin(16) такой состав, как этого требуют формулы
(6.3.28) и
(6.3.29), в природе не существует, и единственный выход - это найти
опять какое-то правило проектирования, которое позволит исключить лишние
состояния.
Необходимая нам проекция представляет собой вариант проекции GSO.
Заметим, однако, что когда 32 фермиона на мировой поверхности разбиты на
две группы по 16 штук, а именно
6.3. Гетеротическая струна
353
в такой ситуации мы и находимся, то появляются два возможных кандидата на
роль оператора (-l)f, который используется в GSO-проекции. Мы можем
определить один оператор (- 1)Л, который будет антикоммутировать с
