Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
или фундаментальной моделью. Представим себе, однако, что мы собираемся
рассмотреть другую, например исключительную группу. Собственно говоря,
нас будет больше всего интересовать исключительная группа Es. Ее свойства
частично собраны в приложении 6.А, а частично будут возникать по ходу
дела в следующих разделах. Сейчас лишь укажем, что все представления Es
вещественны и размерность наименьшего нетривиального представления равна
248. Поскольку это 248-мерное представление (которое на самом деле
является присоединенным представлением) вещественно, то это значит, что
мы можем определить Es как
') То, что отношение (6.2.8) всегда является целым числом, представляет
собой факт жизни в теории групп, и его легко проверить на простых
примерах. Есть и исключение: можно получить полуцелое значение при п = 3,
взяв SO (3)-спинор в количестве двух экземпляров; два экземпляра нужны
потому, что один спинор - это псевдовещественный, а не вещественный
объект.
2) Технически, "хорошие" представления - это так называемые интегрируемые
представления старшего веса. Это почти унитарные представления •в
гильбертовом пространстве, у которых ограничена снизу энергия, связан-.-
ная с определяемыми в дальнейшем генераторами алгебры Вирасоро.
340
6. Неабелева калибровочная симметрия
группу, действующую в пространстве 248 свободных майоранов-ских (1-j-1)-
мерных фермионов. Это дает минимальное значение k, которое можно получить
в результате "прямолинейной" реализации Е8 в терминах свободных
фермионов1).
Такая реализация ?8 на свободных фермионах не дает в отличие от случая
SO(ti) минимального возможного значения k. В той нормировке, которая дает
целочисленные значения k в произвольной теории, для реализации Е8 на 248
свободных фермионах мы получаем k =30. Спрашивается: каким же образом
построить минимальную теорию с k= 1?
Ответ на этот вопрос необходим нам для самых что ни на есть практических
целей, а вовсе не только для повышения общего культурного уровня. Прежде
всего нас интересует алгебра токов (6.2.7) для случая группы Е%,
поскольку если провести аналогию с нашими предыдущими рассуждениями о
группах SO{n), то любая система, реализующая эту алгебру токов,- это
потенциальная возможность ввести группу Е8 в теорию струн. Те 248
свободных фермионов, из которых устроена наша прямолинейная реализация
Es, были бы эквивалентны в бесконечном объеме (и даже в конечном, если
проявить аккуратность с граничными условиями) 124 вещественным бозонам.
Поскольку 124 - это гораздо больше, чем критическая размерность модели
Венециано, то невозможно получить вместо 26-мерной модели Венециано
теорию в меньшем количестве измерений, но обладающую ?8-симметрией,
реализованной с помощью 124 вещественных бозонов или 248 майорановских
фермионов. Необходимо найти способ реализовать ?8 в системе с меньшим
числом степеней свободы.
Ключ к решению этой задачи лежит во вводной части этого раздела, там, где
мы обсуждали SO (п) -симметрию для четных п, т. е. для п = 2d. Там мы
убедились, что минимальная (k = 1) теория имеет как вполне банальную
реализацию (6.2.3) в терминах п свободных фермионов, так и менее
очевидную -
(6.2.4), включающую лишь d = п/2 свободных бозонов (детали этой
конструкции мы пока что не исследовали). Пока объектом нашего внимания
являются лишь группы SO(n), несомненно, что формула (6.2.3) оказывается
гораздо проще, чем (6.2.4), но, когда перед нами стоит задача включения в
теорию струн других групп, таких как исключительные, положение радикально
меняется. Оказывается, что для некоторых исключительных групп (а именно
для Е6, Е7 и Е8, но не для G2 и F4) гораздо
*) Мы употребили здесь слово "прямолинейная", поскольку скоро мы
убедимся, что есть еще и непрямолинейный способ реализовать Eg, который-
требует лишь 16 фермионов и приводит к значительно меньшему значению
6.2. Алгебра токов
легче получить реализацию минимальной алгебры токов с k = 1, используя
именно (6.2.4), а не (6.2.3). Таким образом, одна из наших насущнейших
задач - это разобраться во всех тонкостях формулы (6.2.4) для различных
групп Ли, помня при этом, что наиболее интересным приложением будет,
конечно же, Е& X Е&-Кроме того, мы увидм, как Ев описывается на языке
фермионов (при k = 1), для чего, впрочем, тоже потребуется весьма
детальное исследование.
Тот факт, что задание на мировой поверхности струны алгебры токов
представляет собой весьма многообещающий способ включения внутренних
симметрий в теорию струн, можно объяснить и еще одним, совершенно другим
способом. А именно,, представим себе, что мы построили какое-то
представление аффинной алгебры Ли (6.2.7). Тогда мы можем определить
(например, для замкнутых струн)
Т+ + (а) = К (а) Г+ (а) = 2^пе~2Ш, (6.2.9>
а
где р=& + (1/2)с2, а с2- квадратичный оператор Казимира в присоединенном
представлении, задаваемый формулой
facdfbcd =СгЬаЪ (6.2.10)*
Можно проверить, используя алгебру (6.2.7), что эти операторы образуют
