Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
на торе-это множество всех точек х1 в R16, связанных отношением
эквивалентности
16
х1 " х1 + п Е п.е1/ = х1 + 2nLf. (6.4.26):
i = 1
Введем метрический тензор
16
(6-4-27>"
1 i=i 1
6.4. Компактификация на торы
363
в R16. Как мы увидим, наиболее интересен тот случай, когда матрица gij
составлена из целых чисел, причем gu = 2.
Из перестановочных соотношений видно, что plL ~ - (i/2) d/dx'L. Следуя
идеям Калуцы - Клейна, мы будем считать допустимыми лишь те значения
импульсов К1, при которых формула exp(2iK-x) задает однозначную функцию
на торе, что эквивалентно следующему условию: К'е1. - целое число при
любых /= 1, ..., 16. Векторы К1, удовлетворяющие этому условию, образуют
некоторую решетку Г, называемую дуальной решеткой решетки Г. Всегда
существуют 16 векторов •е*1, таких, что
= (6.4.28)
определяемых этим условием однозначно. Линейные комбинации е*1 с целыми
коэффициентами и образуют дуальную решетку Г, а все допустимые импульсы
могут быть представлены в виде
16
К '=?т,е?'. (6.4.29)
г=1 '
Соотношение K' = 2L', следующее из K=p/2-\-L и р/2 -
- L = 0 (эти условия учитывают тот факт, что у х1 есть только левые
компоненты), примет теперь вид
16 16
К1 = Z т{е\1 = ? п.е1.. (6.4.30)
i=I (=1
До сих пор мы не налагали никаких ограничений (кроме линейной
независимости) на наши 16 векторов е[\ соответственно не было никаких
ограничений и на матричные элементы gtj-Для произвольных е\ условие
(6.4.30) представляет собой очень
сильное ограничение. Действительно, в (6.4.30) утверждается,
что один и тот же вектор К' принадлежит как решетке Г, порожденной
векторами е{> так и решетке Г, которая генерируется набором е]1. Каждая
из этих решеток описывает дискретное множество точек в R]6, и в общем
случае (при произвольных е[) эти два множества имеют единственную общую
точку - начало координат. Следовательно, в случае общего положения
удовлетворяющие условию (6.4.30) импульсы К' просто обращаются jb нуль.
364
6. Неабелева калибровочная симметрия
Однако допущение, что в движении струны отсутствуют нулевые моды,
физически совершенно неудовлетворительно, и мы приходим к выводу, что
теория с произвольными e't не может быть последовательной. В гл. 9 при
исследовании модулярной инвариантности мы обнаружим истинную причину этой
непоследовательности, а пока что двинемся дальше и попытаемся выяснить,
нет ли возможности предотвратить столь разрушительное действие условия
(6.4.30).
Поставим вопрос: при каких условиях в пересечении двух решеток - Г и ее
дуальной Г - лежит достаточно много точек? Оказывается, что такое
удивительное явление действительно имеет место, когда все матричные
элементы gtj метрики g, определенной формулой (6.4.27), являются целыми
числами; решетка с таким свойством называется целой.
В этом случае все скалярные произведения (еь ej) =
- е!ег} для 1 ^ i, / ^ 16 будут целыми, а значит, и сами векторы е\
будут принадлежать дуальной решетке. Соответственно и вся порожденная ими
решетка Г будет лежать в Г, и условие
(6.4.30) будет выполнено для любого К1, принадлежащего Г.
Требование, чтобы решетка Г была целой решеткой, приводит к очень жестким
ограничениям на радиусы тора Т16, на который компактифицируются 16
дополнительных левых бозонов, но на самом деле мы собираемся ужесточить
их еще больше. А именно, из условия целостности решетки Г еще вовсе не
следует, что она совпадает с Г, она может быть и собственной под-
решеткой. Мы же потребуем, чтобы обе решетки совпадали, в этом случае
решетка Г носит название автодуальной решетки.
Сюда же относится еще одно важное понятие. Если диагональные элементы
метрики ga четны, то Г называется четной решеткой. Рассмотрим
произвольный решеточный вектор-
v'=x?Jnie'i (ni целые). Квадрат длины этого вектора равен (v, v) =
Eifntnigli = Zn*git + 2Zi<fnin/gir и он будет четным числом, если все gij
четны; таким образом, можно сказать, что четная решетка - это такая
решетка, что квадрат длины любого решеточного вектора есть четное число.
Как обычно, левый и правый секторы связаны условием Lo = L0+l,
обеспечивающим инвариантность относительно постоянных сдвигов параметра
ст. На языке мод это условие принимает вид
лг = лг-1+4.?(й)',
Г
(6.4.31)
6.4. Компактификация на торы
365
где N - оператор числа частиц для суперструны, и
СО / СО 16
\t=l /=1 Формула для массового оператора имеет вид
-j- (масса)2 = 2N.
(6.4.33)
Поскольку собственные значения и N, и N целые, то квадраты длин векторов
К', являющихся собственными значениями операторов р?, должны быть
четными, и если решетка Г и целая, и четная, то это, очевидно, выполнено.
Что будет, если Г не является четной? Если Г целая, но нечетная решетка,
то множество точек имеющих четный квадрат длины, обра-
зует некую подрешетку Г/. Поскольку из (6.4.33) следует, что импульсы
должны принадлежать Г' (а не просто Г, как следует из (6.4.30)), мы можем
провести все построение, прямо начиная с решетки Г'. Итак, впредь мы
