Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
мерное пространство Минковского), а в M25XSl, где S1 обозначает
окружность. Такой выбор представляет собой частный случай
"компактификации" из 26 измерений в 26 - d. Мы будем стремиться к тому,
чтобы рассмотреть d торических бозонов как координаты ф1' в (6.2.4) и
показать, что при правильном выборе способа описания действительно
возникает неабелева группа симметрии.
После того как этот предварительный этап будет пройден, мы перейдем к
собственно интересующей нас задаче: к бозони-зованному описанию
гетеротической струны. В этой конструкции 32 координаты левых фермионов
заменятся на 16 бозонных координат. Вместе с десятью левыми бозонами
десятимерной струны они составят ровно 26 координат, на которые можно
смотреть как на 26 свободных бозонов модели Венециано. С другой стороны,
правый сектор составят суперсимметричные моды:
10 бозонов и (в RNS-подходе) 10 фермионов, в точности как это было в
разд. 6.3. Следовательно, при таком описании на гетеротическую струну
можно смотреть как на гибрид левой бозонной струны с правой фермионной
струной, где 16 лишних бозонных координат левого сектора
компактифицируются на некоторый 16-мерный тор, порождая при этом
симметрию Е8 X или 50(32).
В рамках этой конструкции проще понять причину возникновения симметрии
ЕаХЕв, чем в фермионной картине. Кроме того, в ней содержатся первые
намеки на то, почему некоторые построения предыдущего раздела играют
особую роль. В частности, мы обнаружим, что две построенные нами
суперсимметричные теории соответствуют двум единственно возможным четным
автодуальным решеткам в 16 измерениях. Хотя в рамках обсуждения,
проводимого в настоящей главе, все эти свойства выглядят не более чем
некоторым курьезом, позднее,
356
6. Неабелева калибровочная симметрия
в гл. 9, мы убедимся, что они имеют первостепенную важность в вопросе о
самосогласованности однопетлевых диаграмм.
6.4.1. Компактификация на окружность
Начнем с простейшего примера, демонстрирующего, как возникает неабелева
симметрия при компактификации на тор. Рассмотрим бозонную замкнутую
струну в D = 26 и предположим, что одно из ее пространственных измерений
компактифицировано в окружность. Для соответствующей координаты мы
положим х == х + 2nRn, где R - радиус окружности, а п- произвольное целое
число.Наиболее общая конфигурация, удовлетворяющая двумерному волновому
уравнению и граничным условиям замкнутой струны, имеет вид
X (ст, т) = х + рх + 2La + ^ - [а"е Пп(х а) + апе 2гп (т+а)],
пфО
(6.4.1)
где
p = L = nR. (6.4.2)
Целое число m нумерует разрешенные собственные значения импульса, оно
должно быть целым, чтобы квантовомеханическая волновая функция е'рх была
однозначна (инвариантна относительно х^-х + 2nR). Число п указывает,
сколько раз струна обернулась вокруг окружности. Когда это "число
намотки" п отлично от нуля, Х(о, х) описывает солитонное струнное
состояние. У таких состояний нет никакого аналога в некомпактифи-
цированном случае, поскольку при R^oo их энергия неограниченно растет.
Ясно, что подобные состояния существуют всегда, когда топология
пространства допускает существование нестягиваемых замкнутых кривых, т.
е. когда его фундаментальная группа щ отлична от нуля.
Разложение по модам (6.4.1) можно представить в виде суммы правой и левой
волн:
X (ст, т) = XR (х - ст) + (т + ст), (6.4.3)
XR(x - ст)=хл+ (-у - l)(t - o) + y ? -^-апе~2'п(х~а),
пФ О
(6.4.4)
%L (т + <*) == XL + (f + (т + °) + ^ (r)пе 2<ге(т+а).
Пф О
(6.4.5)
6.4. Компактификация на торы
357
При этом часть условий Вирасоро Т++ = Т_________= 0, соответствую-
щая нулевым частотам, запишется в виде Lo = Lo = 0, где
Lo - -у Р~ L) + N + {Рц)2!&,
Lo = ~2 (-.f Р + l') + N + (Рц)2/8.
(6.4.6)
Отсюда следует, что
где
-j- (масса)2 = N - 2 + n2R2 (6.4.7)
N - N = pL = mn, (6.4.8)
^ = Е КАц + а_"а"), (6.4.9)
Й = Z (-оР-Ащ + а_"а"). (6.4.10)
Два последних члена в массовой формуле (6.4.7) - это вклад внутреннего
импульса и энергии намотки в 25-мерную массу. В формулах для N и N, и а"
относятся к первым 25 измерениям, а а" и а" - к компактифицированному 26-
му. Поскольку сдвиг а на некое а0 генерируется унитарным оператором
U (сг0) = ехр [2i (iV - N - pL) a0], (6.4.11)
то из уравнения для N - N следует, что физика не зависит от выбора начала
отсчета по координате а.
Обозначим \пг, п} основное состояние в фоковском пространстве, имеющее
внутренний импульс m/R и собственное значение числа намотки, равное п\
при этом 25-вектор импульса pv-явно не указан. Построим теперь
безмассовые векторные состояния. Два состояния можно представить в виде
(c^jcL, ±a_ia|i1)| 0; 0), (6.4.12)
поскольку у этих состояний N = N = 1 и р - L = 0. Если мы считаем, что
струна ориентированная, то ее безмассовый спектр в D = 26 содержит
гравитон g^v, антисимметричный тензор ВцУ и скаляр, и оба выписанных
вектора появляются из разложения g'nv и ВцУ относительно 25-мерной группы
Лоренца. Если струна неориентирована, то в спектре нет поля и
