Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(1.1), (1.2) в (1.5) и используя граничные условия (1.6), приходим к
системе функциональных уравнений, содержащих координату х. Чтобы
превратить их в алгебраические уравнения относительно произвольных
постоянных Ф, и Л,, необходимо уравнять показатели экспонент во всех
выражениях, что приводит к следующим связям между углами отражения:
kp cos 0 = kP cos 0J = ks cos y, = q, (1.7)
Эти соотношения являются аналогами известных в акустике и оп-
тике соотношений закона Снеллиуса [12, 60]. Из них, очевидно, следует,
что 0Х = 0, т. е. угол падения равен углу отражения для
45
продольных волн. Угол отражения сдвиговых волн определяется соотношением
Со
COS Vj = cos 0. (1.8)
Ср
Величины <1^ и Ах в (1.2) имеют значения
(1.9)
Л1"Ф°4^ + (5?-1)* = ГЛ где гj = tg 0Х; Sj = tg Yv
Как следует из (1.8), угол Yi всегда больше угла 0, и в связи с этим при
любом 0 величины Аг и Ф3 вещественны.
Анализ соотношений (1 7) позволяет установить некоторые характерные черты
процесса отражения Прежде всего ясно, что отношение амплитуд падающей и
отраженных волн определяется
только углом 0, коэффициентом Пуассона v материала [cp/cs -
= V ^ / 2v) и не зависит от длины волны h = ~~.
В случае 0 = 0° (скользящее падение) формальный переход к пределу в (1.7)
дает Ф,= - Ф0; Ах = 0. Если найденные значения постоянных подставить в
выражения (1.1), (1.2), то убедимся, что движение отсутствует. Это
обстоятельство следует считать лазанием на неприменимость соотношений
(1.7) для случая скользящего падения, в связи с чем предпринимались
попытки построить для данного случая решение, свободное от указанного
недостатка [181]. Подход авторов работы [181] представляется довольно
искусственным, поскольку основывается на предельном переходе, в основе
которого лежит предположение о неограниченном росте амплитуды падающей
волны при стремлении угла падения к нулю. Тогда для отраженных волн
получаются решения, которые имеют неограниченно возрастающую амплитуду
при г -*- оо. Однако построенное решение позволяет выполнить нулевые
граничные условия на свободной поверхности полупространства.
При оценке отмеченного парадокса следует, конечно, иметь в виду, что
изложенная задача об отражении плоских гармонических волн не является, по
сути, изложением решения какой-либо граничной задачи, поскольку вопрос об
источнике плоских волн не рассматривается. Если считать, что плоские
волны являются достаточно хорошей аппроксимацией возмущений от некоторого
конечного источника на большом расстоянии от него, то трудности с
трактовкой скользящего падения (источник на границе) становятся
понятными.
Чтобы проиллюстрировать общую тенденцию в изменении величин Фх и А1г на
рис 10 представлена зависимость от угла 46
падения для различных значений коэффициента Пуассона.
Главной характерной чертой процесса отражения от свободной границы
падающей Р-волны является наличие в общем случае двух (Р и SV) отраженных
волн. В бесконечном пространстве Р- и SV-волны могут распространяться
независимо. Однако наличие свободной границы приводит к связи двух типов
волновых движений через посредство граничных условий.
Именно эта связь обусловливает те существенные (по сравнению с акустикой
и электродинамикой) трудности, которые возникают
при анализе волновых процессов в ограниченных упругих телах.
Из рис. 10 видно, что при некоторых значениях v и углах падения 0
амплитуда отраженной P-волны равна нулю, т. е. падающая P-волна в
процессе отражения полностью преобразуется в сдвиговую SV-волну. Это
явление называется превращением мод. Из выражения для Фх видно, что оно
наблюдается при
4s1r1 - (S[ - l)2 = 0.
(1.10)
Из анализа этого соотношения следует, что существует критическое значение
v*= 0,2637. Если в материале v < v*, то уравнение (1.10) имеет два
вещественных корня для угла падения в диапазоне (0, 90°). Для v > v*
таких корней нет, т. е. при любых углах падения амплитуда отраженной P-
волны не равна нулю.
Рассмотренный случай отражения P-волны от границы полупространства
характеризуется также тем, что изменение угла падения не приводит к
качественному изменению в волновой картине, т. е. мы всегда имеем
отражение в виде распространяющихся волн. Иными словами, представленная
на рис. 9, а лучевая картина процесса отражения продольной волны
описывает и все характерные черты физики явления, за исключением случая
скользящего падения.
В случае падения на свободную границу полупространства сдвиговой SV-волны
ситуация существенно меняется. Движение частиц полупространства
описывается скалярным потенциалом ф и компонентой ау векторного
потенциала, т. е.
Ф = Фх exp [ikp (х cos 0Х - 2 sin 0Х)], ^ j
ау = Ай exp [iks {х cos у + г sin у)] -f ^exp [iks (х cos ух - г sin
ух)].
47
Удовлетворение граничных условий (1.6) в этом случае приводит к
соотношениям
Ср ¦'
уг = у, cos 01 = --cosy (1-12)
C<i
и следующей связи между амплитудами падающей и отраженных волн:
Л . 4sj (s? - 1)
1== 0 isiri + (я? - I)* ~ Fps (1ЛЗ)
