Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
задач (плоская задача о гладком или жестко сцепленном штампе) и
использовать полученные в них особенности в более сложных граничных
задачах. Такой подход имеет очевидное преимущество, в частности обладает
большой наглядностью и дает возможность подчеркнуть родственность
различных задач. Однако он имеет и недостаток, связанный с небольшим
числом точно решенных задач, даже в плоской теории упругости. В связи с
этим получил развитие метод, основанный на изучении поведения однородных
решений для плоского клина. Таким путем получен ряд интересных и
наглядных результатов довольно общего характера [173, 276, 285]. Отметим,
что данный подход применим и в случае излома граничной поверхности.
Вместе с тем ценность этих результатов несколько снижается в связи с тем,
что проведенный в указанных работах анализ позволяет заключить, что в
набор однородных решений для той или иной граничной задачи входят
сингулярные слагаемые. Однако на вопрос об их наличии в окончательном
решении можно ответить, учитывая лишь характер внешней нагрузки.
Указанное обстоятельство, а также легкость, с которой можно построить
несингулярные решения в тех случаях, когда в наборе однородных решений
имеются сингулярные составляющие, на первый взгляд несколько снижают
ценность анализа задач при нулевых граничных условиях. Однако такие
несингулярные решения в "сингулярных ситуациях" являются скорее
исключением, а не правилом.
Суммируя результаты имеющихся решений для точек типа А, заключаем [99,
173]:
1) если на области S = (J S2 всюду заданы гладкие касательные напряжения,
на Sx - нормальные напряжения, а на S2 - нормальные смещения, то при
подходе к точке А изнутри области S2 нормальные напряжения возрастают к
бесконечности как р-:
2) если на заданы напряжения, а на S2- смещения, то при подходе к точке А
изнутри области S2 нормальные напряжения имеют
l+/v
особенность типа Re [Dp 2 ], где у = -т^'п (3 -4v).
2. Особенности напряженного состояния для граничной поверхности с
изломом. Характер напряженного состояния вблизи линии излома L
существенно изменяется. В этом случае снова целесообразно выделить
ситуации разрывного характера нагрузок и смены типа граничных условий и
рассматривать случаи в окрестностях точек А и В (рис. 5). Однако, как и
для гладкой границы, ситуация в окрестности точки В, требующая в обоих
случаях решения сложной пространственной задачи, в настоящее время не
может быть исследована. В окрестности точки А исследование можно провести
на основе рассмотрения соответствующих плоских задач теории упругости, в
решении которых достигнуты значительные успехи.
Для данной работы необходима информация о характере осо-
34
бенности в окрестности лишь прямого угла, т. е. в окрестности угла
упругой четвертьплоскости (рис.
6). Здесь можно выделить следующие ситуации:
а) на S, заданы напряжения, а на S2 - касательные напряжения и нормальные
смещения. В этом случае напряжения особенностей Рис. 5. не имеют;
б) на S, заданы напряжения, а на S2 - перемещения. В этом случае при
подходе к угловой точке компоненты тензора напряжений можно представить в
виде
<хг да Лг (8) р-(r), ой да Л2 (0) р-", TrfS" Л3 (0) р-01, (4.4)
где 0 < а < 0,5 - корень уравнения
(3 - 4v) sin2-^ = (1- а)г - (1 - 2v)2. (4.5)
Отметим, что Л2(0) = Л3(0) = 0, Л,(0) Ф 0, т. е. особенность в
напряжениях, заданных на поверхности отсутствует.
Как уже отмечалось, подход, основанный на анализе однородных решений,
имеет определенные недостатки с точки зрения выявления характера
особенности в каждом конкретном случае. В частности, кроме возможности
путем выбора ненулевой нагрузки устранить особенность, как на еще один
недостаток такого подхода можно указать на следующую ситуацию.
Рассматривая случай нагружения прямого угла касательной нагрузкой,
показанной на рис. 7, т. е. при нарушении парности касательных напряжений
в угловой точке, имеем логарифмическую особенность в угле поворота сог
относитель-> но оси 0г [165, 2581. Этот результат, конечно, нельзя
получить из однородной задачи. Из изложенного выше следует, что
рассмотрение вопроса об особенностях связано с решением некоторых
трансцендентных уравнений, имеющих, как правило, несколько корней. С этой
точки зрения фиксация типа особенности является, по сути, указанием на
то, какие из сингулярных однородных решений следует оставить, а какие
отбросить. Физическим основанием для такого действия всегда можно принять
требование конечности энергии деформации, накопленной в окрестности
"подозрительной" на сингулярность точки границы. Фактически, как и в
задачах электродинамики и акустики, лишь фиксация типа сингулярности
позволяет поставить граничную задачу, допускающую однозначное решение
Важным моментом в вопросе о сингулярности является также следующее
обстоятельство. Часто анализ уровня напряженности колеблющегося упругого
тела является одной из главных целей исследования. На основе оценки этого
уровня делаются заключения о работоспособности того или иного узла
