Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
физических свойств взаимодействия полупространств на границе г- 0.
Наиболее простым из возможных типов взаимодействия является такое, при
котором соблюдается равенство кинематических и силовых характеристик по
направлению нормали к поверхности раздела и допускается возможность
проскальзывания вдоль самой поверхности. Эти условия можно записать в
виде следующих равенств:
41'- "Р. - о" 41
= Тад = Тзд = 0, 2=0.
В случае, который можно характеризовать как полное (жесткое) скрепление
полупространств, система условий сопряжения на границе раздела имеет вид
ut>=up.
Та = Та', Тад = Тад , = af\ 2=0.
Первое условие характеризует отсутствие разрывов в среде, а второе
налагается третьим законом Ньютона.
Падающая SH-волна задается следующим выражением единственной отличной от
нуля компонентой вектора смещений (временной множитель exp (-iat)
опущен):
ии = U0 exp [i&si (х cos у -f г sin у)], kSi = -г~ , (4.3)
csi
58
1*40. 18.
удовлетворяющим уравнению движения Ламе
(4.4)
Единственной отличной от нуля компонентой вектора усилий для смещений
(4.3) на поверхности 2=0 является касательная компонента тгу. В связи с
этим при гладком контакте полупространств движение, вызванное SH-волной в
первой среде, не может быть передано во вторую - падающая волна полностью
отразится от границы раздела. Выражение для смещений в отраженной волне
имеет вид
В случае граничных условий (4.2), т. е. жестко скрепленных сред,
отражение и преломление SH волн происходит без генерации других типов
волн, и решение является довольно простым. Перемещения в отраженной и
преломленной волнах можно записать в виде
Граничные условия (4.2) приводят к следующим соотношениям:
U0 exp (ilts\ х cos у) + UL exp (iks\ x cos yx) = U% exp (iks? x cos y2),
(4 7) [U0ks 1 sin у exp (iksix cos y) - U^s' sin y* exp (iksix cos y,)] =
"У' =5 U0 exp ft&si (x cos у - 2sin y)].
(4.5)
u(yu - f/x exp [iksi (x cos y, - 2 sin yj], uf = U2 exp [iks? (x cos y2 -
f 2 sin y2)].
(4.6)
G2U2ks2 sin y8 exp (iks?x cos y2).
Отсюда следует закон Снеллиуса для углов у2 и у2 отраженной и
преломленной волн:
ksi cosy = ksi cos у! = ks2 cosy2 = q,
CS2 (4.8)
Yk-y, cos y2 = -- cos y.
CS1
С учетом этих равенств выражения для коэффициентов отражения и
преломления приобретают вид
f/x = U0 -Sl7f2 , i/2 = С/0 - , (4.9)
0 "1 + gs2 ' 2 0 s, + gs2 ' 47
Q
где ?=_6Г; si = tgVi; S2 = tgY2-
Рассматривая важные частные случаи сред с одинаковой плотностью или
жесткостью, Грин [185] для амплитуды отраженной
волны получил выражения -rffi1 7-^1 и 4n ^ ~ соответствен-
1 У tg (Vi + Y2) sin (Vi + Ya)
но. Эти величины совпадают g формулами Френеля для отраженного света для
двух возможных случаев поляризации. Такое совпадение послужило стимулом к
проведению обширных исследований по изучению возможностей модели упругого
эфира при объяснении оптических явлений [122, 149, 180, 284].
Из соотношений (4.8) для определения угла у2 следует, что при
Ссо
- > I возможны такие углы у, при которых v3 становится чис-
CS1
то мнимым. Тогда во втором полупространстве возбуждается неоднородная
волна, в которой компонента смещения убывает от границы по
экспоненциальному закону. Ниже показано, что процесс отражения в таких
случаях можно трактовать как явление полного внутреннего отражения.
Рассматриваемый случай распространения SH-волн в составном пространстве
имеет много общего с задачей об отражении и преломлении света в
изотропных диэлектриках. Это позволяет переносить накопленные в
электромагнитной теории результаты на случай упругих SH-волн. Особенно
важна эта аналогия при энергетическом анализе процессов отражения и
преломления.
В случае распространения SH-волн компоненты вектора Умова Р вычисляются
по формулам
Рх = - йухХу, Рг = - йу%гу. (4.10)
Из выражений (4.5) и (4.6) для компонентов векторов потока мощности в
первом и во втором полупространствах получаем следующие значения:
Р'7 = -О- q<a (U0 sin а + Иг sin Р)2, Р(* ' - qtoUl sin2 e,
1 (4.11)
P[i] = -y- q&sx (i/o sin2 а - U\ sin2 P), P^2) = -у- p(c)s2i/2 sin2 e,
60
-"v
(
О
Рис. 19.
где а = q(х + s^z) - Ы\ $ = q(x- s^) - Ы\ е == q(х + s2z)- соЛ
cSl
Эти соотношения справедливы для случая, когда cos у <--------------------
-
CS2
(правильное отражение).
Усредненные по времени значения нормальной к поверхности составляющей
вектора потока мощности выражают закон сохранения энергии Р1г1) =Рг2).
Этот закон можно записать также в виде
GlSlUt = G.s.U'i + G2s2Ul (4.12)
и непосредственно проверить, используя (4.9).
На рис. 19 представлено относительное распределение энергии в отраженной
(кривая 1) и преломленной (кривая 2) волнах. В качестве исследуемых
материалов выбирались иттриево-алюминиевый гранат (YAG) - первое
полупространство и плавленый кварц - второе полупространство. Их свойства
приведены в табл. 2. Видно, что при у да 15° имеем случай полного
прохождения, и вся энергия уносится только преломленной волной. Это
явление имеет определенную аналогию с явлением отражения поляризованной
