Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
срединной поверхностью S:
Е = р § (ихих + d'yUy + игиг)dS. (5.9)
s
Тогда групповая скорость рассматриваемого волнового процесса определяется
как [88, 163, 167]
= (5.Ю)
Отметим, что при записи выражения средней плотности энергии
(5.9) использовано то обстоятельство, что для гармонических волн полная
плотность энергии как сумма плотности кинетической и потенциальной
энергии равна удвоенной величине кинетической энергии.
Второе, так называемое кинематическое, определение групповой скорости
связано с рассмотрением волнового поля, представляющего собой
суперпозицию гармонических волн с различными, но близкими к некоторой
величине со0 частотами. Для плоской волны, бегущей, например, в
направлении оси 0г, вектор смещений в отдельных составляющих волнового
поля имеет вид
и(х, у, г, /) = U (х, y)exp[i(kz- со/)). (5.11)
Из анализа кинематики движения в наборе таких волн следует, что вся
группа перемещается со скоростью [86, 167]
'."ТГ • (5Л2>
ик C0=C0q
Следует иметь в виду, что скорость является величиной векторной и
соотношение (5.12) дает проекцию этого вектора на ось 0г. В общем случае
произвольно направленной плоской волны с волновым вектором k = {kx, ky,
kz} при задании дисперсионного соотношения в виде
(" = (!> (к) (5.13)
вектор групповой скорости определяется равенством
да> , da dco
Приведенное кинематическое определение групповой скорости тесно связано с
методом стационарной фазы Кельвина [102]. Это определение дает для
групповой скорости соотношение (5.12) и интересно сточки зрения более
глубокого понимания сути широко используемого метода вычисления
интегралов.
Энергетическое и кинематическое определения групповой скорости приводят к
внешне совершенно различным соотношениям. Вопрос о связи между ними и
подтверждение тождественности определений изучен достаточно подробно [88,
163, 278, 279]. То, что при гармоническом движении с фиксированной
частотой и волновым числом энергия распространяется со скоростью, которую
можно выразить как отношение изменения частоты и волнового числа в
окрестности исходных, является замечательным результатом.
Простейший случай дисперсионных соотношений со = kct (I = = 1, 2)
возникает при изучении распространения продольных и поперечных волн в
безграничной упругой среде. Здесь для каждого из указанных типов волн
имеем ср - cg= ct(l = 1, 2). Отметим, также, что для волнового поля в
бесконечной среде, составленного наложением волн расширения и сдвига,
вектор смещений не может быть представлен в виде (5.11) и групповую
скорость определить нельзя. Представление в виде (5.11) становится
возможным при наличии взаимодействия между волнами указанных типов за
счет свойств среды (физическая дисперсия) или за счет взаимного их
превращения друг в друга на границах (геометрическая дисперсия).
Наиболее часто встречаются случаи, когда дисперсионное соотношение (5.13)
связывает скалярные величины со и k. Эта связь часто представляется
линиями на плоскости (k, со) (рис. 8). На рис. 8 выделена точка Р,
соответствующая волне с частотой со = со0. По определению групповой cg и
фазовой ср скоростей имеем
cg = tg а, ср = tg р.
(5.15)
Для приведенного на рис. 8 конкретного вида дисперсионной кривой,
очевидно, возможна ситуация, когда ср > 0 и cg < 0. Это означает, что,
несмотря на то что фазовая скорость направлена в положительном
направлении оси Ог, энергия в такой волне переносится в отрицательном
направлении. Впервые на возможность такой ситуации указано в работе
[206], где построен ряд искусственных типов сред, обладающих данным
свойством. Большое внимание таким случаям уделил в своих лекциях и
работах Мандельштам [86, 88]. В случае упругих волноводов такая ситуации
обсуждается в § 7 главы 4.
41
После введения понятий потока энергии и скорости ее переноса можно
указать общий подход к формулировке условий излучения при изучении
распространения гармонических волн. Для каждого конкретного случая
необходимо:
1) представить общее волновое поле в виде суперпозиции пар независимых
типов волн, отличающихся направлением фазовой скорости, каждая из которых
характеризуется своим дисперсионным соотношением. Простейшими примерами
таких пар являются сходящиеся и расходящиеся сферические волны в
безграничной среде. При этом продольные и поперечные волны описываются
разными дисперсионными соотношениями;
2) из каждой пары в общее представление решения краевой задачи необходимо
включить волну, которая имеет соответствующий физической сущности задачи
знак групповой скорости.
Использование принципа излучения в такой форме, естественно, затруднено,
однако, как следует из анализа конкретных задач, трудно надеяться на
возможность более простой формулировки условий однозначности. Трудности
математического характера, возникающие при постановке граничных задач
теории упругости, отражают сложность физического процесса распространения
упругих волн.
ГЛАВА 2
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ
