Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
распространения. Аналогично для векторного волнового уравнения в (1.16)
решение в виде плоской гармонической
26
волны задается соотношением
(3.2)
Здесь амплитудный вектор А0(р) также может быть произвольной функцией
направления распространения, характеризуемого волновым вектором р.
Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как
в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн,
естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при
рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно
используется редко. Основным методом построения общих решений волновых
уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений,
полученных после отделения временного множителя exp (-iwt) в общем
представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых
сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для
амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно
Здесь и далее мы не будем делать различия в обозначениях амплитудных и
полных выражений для всех характеристик поля, поскольку в случае
гармонических процессов это не приводит к каким-либо неясностям.
Введенные при записи уравнений (3.3) величины
называются волновыми числами и являются важными характеристиками
гармонических волн.
Для описания основных характеристик гармонических волн обычно
используются два приема. Так, можно, например, зафиксировать момент
времени и исследовать соответствующее ему мгновенное состояние среды. При
этом, как следует из выражений
(3.1) и (3.2), мы получаем некоторую периодически повторяющуюся в
пространстве картину, отражающую состояние точек среды. Периодичность
здесь следует понимать в том смысле, что для каждой точки со своим
набором параметров (смещения, скорости, напряжения) можно указать другую
точку среды, имеющую такой же набор основных параметров. Важно, что
расстояние между такими точками не зависит от выбора первой из них и
поэтому является характеристикой гармонической волны.
Рассмотрим вначале случай, когда в безграничной упругой среде
распространяется продольная волна, описываемая скалярным потенциалом ф в
(3.1). Для фиксированного момента времени t =* = to определение для
данной точки с радиус-вектором г точки с
У2ф + ??ф = О, V2a + kta. = 0.
(3.3)
27
идентичным состоянием и отстоящей от исходной на расстояние г0 сводится к
решению уравнения
Р • г" = 2я. - (3.5)
При заданном направлении распространения (т. е. при заданном волновом
векторе р) уравнение (3.5) имеет, вообще говоря, неоднозначное решение
для г0. Это отражает тот физически очевидный факт, что в среде имеется
бесконечно много точек с состоянием, идентичным состоянию выбранной
точки. Важной характеристикой волны является поэтому наименьшее из
возможных расстояний. Очевидно, при этом вектор г0 должен совпадать по
направлению с вектором р, а расстояние определяться величиной в равенстве
г0 = ^iP- (3-6)
При подстановке выражения (3.6) в (3.5) находим
Величина называется длиной продольной волны.
Аналогично в случае распространения гармонической поперечной волны
вводится определение ее длины
К = (3.8)
к2
Интересно, что уже здесь проявляется отличие упругой среды от
акустической и электромагнитной. В двух последних случаях в бесконечной
области при распространении плоских гармонических волн всегда есть точки
с идентичными физическими характеристиками (давление, скорость,
напряженность электрического и магнитного полей). Для упругой среды
вследствие наличия продольных и поперечных волн существование таких точек
возможно лишь при условии соизмеримости длин волн п\= trik%, где пит -
некоторые целые числа.
Если теперь в выражениях (3.1) и (3.2) зафиксировать значение вектора г =
R, т. е. рассматривать изменение во времени состояния упругого тела в
некоторой точке, то очевидно, что по истечении вре-
гг\ 2я о
мени 1 = состояние упругого тела в этой точке повторится.
Величина интервала времени Т, в данном случае общая для обоих типов волн,
называется периодом гармонической волны.
Для каждого из двух типов плоских гармонических волн можно определить
понятие фазовой скорости как скорости изменения состояния. Однако в общем
случае наличия в безграничной упругой среде одновременно двух видов волн
определить разумно фазовую скорость без соизмеримости длин волн нельзя.
По существу, здесь происходит два невзаимодействующих волновых движения.
Появление границы приводит к установлению через посредство граничных
условий физической связи между ними и дает возможность однозначно
определить фазовую скорость гармонической волны.
28
г
а
Рис. 1.
В связи с тем что волновой вектор и направление смещений частиц,
возникающих при распространении волны, различаются для упругой среды,
важной кинематической характеристикой волны является поляризация. Говоря
о поляризации волн, обычно имеют в виду связь между направлением
распространения волны и направлением смещения (скорости) частиц среды при
