Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Y/m, = >4m/nSvnS~l = Ym? Из основного уравнения (1.29), определяющего алгебраические свойства y-матриц, и обобщенной теоремы Паули находим, что это возможно только при изометрических преобразованиях, т. е. таких, что ?mv(jcO==^mn(*')• Поэтому в общем случае надо положить, что при любых координатных преобразованиях спиноры и биспиноры не преобразуются, а ведут себя как скаляры:
Какой же геометрический смысл имеют в таком случае общие спинорные преобразования? Очевидно, что они образуют 8-параметрическую группу, которую можно представить как прямое произведение 2-параметрической абелевой группы калибровочных преобразований (две степени свободы соответствуют модулю и фазе фундаментального спинора уАВ) и собственной группы Лоренца (унимодулярные спинорные преобразования, соответствующие локальным преобразованиям Лоренца). Так как эти преобразования играют в общей теории относительности фундаментальную роль, то рассмотрим подробнее их связь с унимодулярными преобразованиями на примере биспиноров.
В тетрадной формулировке общей теории относительности (см. [45—51 j) в каждой точке 4-мерного псевдо-риманова многообразия вводится тетрада /і(ш)' — четверка
26 взаимно ортогональных единичных векторовТетрадные компоненты метрического тензора образуют тензор Минковского
и= = diaS О- 1, 1, - 1), (1.38)
инвариантный относительно преобразований Лоренца:
Л(т)' (п)' = L(myk)L(nyl)rl(k) (I)= Л(т) (я)-
Очевидно, что тетрадные компоненты метрич.еского би-спинтензора у =a^0lyf, у(ш)= А(т),у' удовлетворяют перестановочным соотношениям
(v(mr V(J = 2r,(m)(n), {Y(m», Y(n)) = (1.39)
Поэтому в силу теоремы Паули всегда существует биспи-норное преобразование S(detS=/=0), компенсирующее преобразование Лоренца у\ту= L{mY{n)Sy{n)S~1 = y(w). В случае бесконечно малых преобразований Лоренца L(m)'(rl)= = Л(ш)(п)+а(ш)(п) («(«и*)=—«(,,и«)) находим
С_/_I__С cf(m)(n) C-I _/__i_ С „(т)(п)
1 » 4 » ° —1 4 °(ш)(л)а
где S{m)(n)=h(m; HjSlh det S = I.
Полагая, в частности, y, g= ' в качестве у-матриц, удовлетворяющих соотношению (1.39), можно выбрать
^--'(-VfO-W-iMio)- <'•«»
где <j(e) — матрицы Паули
°<'>=(? І)' am=(-io)' 0^=Co -l)' (1-41)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
К,),а(р)}=26(а)(р), К, a(p)] = 2(e(a)(?)(x)o(x). (1.42)
^ Тетрадные индексы заключаются в скобки. Греческие индексы пробегают значения от 1 до 3, а латинские — от 1 до 4.
Вид матрицы S для конечных преобразований Лоренца можно найти в монографии [36, с. 677].
Напомним, что это уравнение инвариантно относительно унимоду-лярных спинорных преобразований (см. (1.6)).
27 § 1.5. Ковариантные производные
Выше была рассмотрена локальная спинор-ная структура, однако мы еще не связали ее с многообразием M в целом. Чтобы связать различные [S(P)] друг с другом, необходимо ввести понятие спинорной (биспи-норной) связности, т. е. определить операцию ковариантно-го дифференцирования. Так как из задания спинорной структуры пространства-времени вытекает его псевдори-манова структура [35], то спинорную связность определим так, чтобы геометрия пространства-времени была псевдо-римановой.
Спинорная связность. Ковариантную производную спинора произвольной валентности определим так:
^::п.т=хА::п.т+глСпХс:ъ-гсВтхАъ С-43)
Для нее потребуем выполнения обычного закона преобразования „, откуда следует
TAB,m,=AA'AAB,BAmr ГаВгп-Аа'а> тАвМтГ. Заметим, что использование одних и тех же коэффициентов аффинной связности для определения ковариантных производных спиноров с ко- и контравариантными индексами необходимо для сохранения обычного закона перенесения для скаляров, построенных из спиноров D (хА <pA) = d(%A цА).
Далее, потребуем коммутативности операций кова-риантного дифференцирования и комплексного сопряжения. Следовательно, ковариантные производные пунктированных спиноров строятся с помощью коэффициентов связности в полном соответствии с формулой
(1.43). Очевидно, для смешанных спиноров выполняется
соотношение x^.?; m = хЬ.т + Sm X^.?~ Tgm + ''' •
В § 1.3 было показано, что эрмитов спинор %Ав и соответствующий ему вектор Xi (1.13) можно рассматривать как различные компоненты одного и того же вектора х (1-20).. Поэтому спинтензору Хав\ т должен соответствовать 'тензор X/; т. Т. е. .
хав\ т ~ о aexj-, т» X/; т= ~2~~ хаз, т' Сравнивая полученные соотношения с (1.13) и (1.19), находим, ЧТО метрический спинтензор ОіАв(°іав) должен быть ковариантно постоянен: (J^fn = O, т.е.
опав. m= onab, т — kA?— Гanpntb"- ^bm0пас= ( 1 -44)
28 Так как риманова геометрия характеризуется метрическим перенесением (gmn. л = 0), то в силу соотношения (1.16) ковариантная производная фундаментального спинора (уАВ J не может быть произвольной. В частности, при учете соотношения (1.44) следует, что спинорное перенесение в самом общем случае может быть полуметрическим, причем таким, что
УАВ-.т=-[Ф>»УАВ ИЛИ УАВ:т = ЮтУАВ, (1-45) где Фт—действительный 4-вектор (Ф„ = ФШ). Однако для единичного спинора уАс имеем Y^m = O-
Найдем явный вид коэффициентов спинорной связности В качестве исходных используем уравнения (1.44) и (1.45). Из (1.45) следует
