Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
|ф>' = 6Мф>, <?' = U<?U+ (2.36)
Однако эта инвариантность выступает в неявном виде, так как время входит в уравнения движения для векторов и операторов, заданных в гильбертовом пространстве, несимметричным образом (ср. (2.35)).
Следовательно, временная зависимость эрмитовых операторов и векторов гильбертова пространства определяется не только физическими взаимосвязями, отраженными в операторе Гамильтона ^f, но и произвольным выбором картины. Если ограничиться хорошо изученными картинами Шрёдингера, Гейзенберга и взаимодействия, то отмеченная нековариантность уравнений движения не доставляет заметных неудобств. Однако в дальнейшем нам придется использовать весьма специфические картины, которые сами по себе не имеют такого значения, как картины Шрёдингера и Гейзенберга. В этой связи представляется целесообразным придать уравнениям движения квантовой механики явно ковариантную форму, которая более удобна для исследований, носящих общий характер. Для этого введем в гильбертовом пространстве ковариантные производные [58—60] и определим их исходя из следующих условий:
1. Ковариантные производные некоторого вектора (оператора) гильбертова пространства представляют собой вектор (оператор) этого же пространства. При этом векторами и операторами будем называть только такие элементы гильбертова пространства, которые при унитарных преобразованиях преобразуются по однородному закону (2.36). Таким образом, ковариантные производные, обозначаемые символом б/бА,, должны удовлетворять следующему закону преобразования:
44 aH 5. > 6)(^)=^1/+(2.37)
2. Для ковариантных производных векторов и операторов гильбертова пространства выполняется обычное правило дифференцирования (правило Лейбница), например:
-А-(^|(р>)==^|ф> +зг \ . (2.38)
?<ФІХ> = <!Мх> +<ФІ1Х2-39)
и т. д.
3. Ковариантная производная скалярного произведения двух произвольных векторов |ф> и \х> совпадает с обычной производной:
=ІГ<ФІ*>- M
Из условий 1 —3 следует, что ковариантная производная вектора гильбертова пространства может быть определена так:
причем в соответствии с условием 1 аффинная связность Г, введенная в гильбертовом пространстве, преобразуется следующим образом:
Iv = UVU + - UU + , U = dU/dk. (2.42)
Выражения Ібф/бХх', входящие в (2.37), следует понимать так:
I 5>/ = ^T1 + 'Vl«P>' (2-43)
Из условий 2 и 3 находим
Г+ = — Г. (2.44)
Так как произвольный оператор S можно разложить по базисным векторам, задающим гильбертово пространство (см. (2.25)), то, используя соотношения (2.38) — (2.44), находим следующее выражение для ковариантной производной произвольного оператора
= (2.45)
где, как обычно, \\\&\=V& — &V. Определенная таким
45 образом ковариантная производная ЬЗ?/6А, преобразуется в соответствии с (2.37, б), где
С помощью введенных в гильбертовом пространстве ко-вариантных производных (2.41) и (2.45) уравнениям движения традиционной квантовой механики можно придать явно ковариантную форму:
где |ЧГ> —вектор состояния; S и Ж — произвольный оператор и оператор Гамильтона соответственно; (дЗ'/дХ)^ описывает явную зависимость операторов от времени, обусловленную физическими взаимосвязями.
При написании уравнений движения (2.46) можно было бы, не вводя параметра А,, рассматривать зависимость вектора состояния IxF^ и произвольного оператора S непосредственно от семейства гиперповерхностей f(k). Это привело бы к уравнениям типа уравнения Томонага — Швингера (см., например, [61]). Однако для большей физической наглядности представляется целесообразным сохранить параметр А.
Отметим, что в инерциальных системах отсчета оператор Гамильтона выполняет две функции: определяет динамику квантовомеханической системы; в случае консервативных систем выступает в роли оператора энергии. В неинерциальных системах отсчета или во внешних гравитационных полях оператор Гамильтона выполняет свою первую функцию (так как он входит в уравнения движения (2.46)) лишь тогда, когда гиперповерхности /(А) можно рассматривать как гиперповерхности Коши для данной физической системы. Вторую же функцию он выполняет только в случае, если гиперповерхности /(А) представляют собой гиперповерхности одновременности в рассматриваемой системе отсчета, а параметр А совпадает с физическим временем t в этой же системе отсчета. Очевидно, что в общем случае гиперповерхности одновременности в конечной области не существуют.
Как известно (см. [62]), вероятностная интерпретация вектора состояния тесно связана с эрмитовостью оператора Гамильтона. Действительно, из (2.40) и уравнения движения (2.46, а) следует
а) і
46 -?-<Ч'|Ч'> = Ooir+=JT,
(2.47)
что делает такую интерпретацию возможной. Отметим, что оператор Гамильтона в (2.46) является «настоящим» оператором, т.е. преобразуется по закону W =UWU +, в то время как оператор Гамильтона, рассмотренный в работе [63], преобразуется по более сложному неоднородному закону.
Это различие обусловлено разными подходами к интерпретации унитарных преобразований. В работе [63] с помощью унитарных преобразований осуществляется не только изменение картины, но и переход к другой системе отсчета. При таком подходе традиционная квантовая механика не инвариантна относительно унитарных преобразований и обладает рядом недостатков [64,65]. В этих работах предложена также новая ковариантная формулировка квантовой механики, которая несколько шире традиционной и может оказаться лучше приспособленной для решения общерелятивистских задач. Здесь, однако, мы ограничимся рассмотрением ковариантной формулировки традиционной квантовой механики, в которой зависящие от времени унитарные преобразования приводят лишь к изменению картины.
