Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
В гильбертовом пространстве определена операция скалярного произведения, которая однозначно ставит в соответствие двум векторам |ф>, \%> , принадлежащим 6, комплексное число <ф1х> Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Из (2.1) непосредственно следуют два важных соотношения: <аф|Ф> =а*<ф|Ф> , <ф|ф> = <ф|ф> \ Определяя гильбертово пространство, обычно предполагают, что скалярное произведение (метрика) положительно определено, т. е. для любого ненулевого вектора |ф]> (<ФІ Ф> )> 0. Последнее обстоятельство позволяет ввести так называемую гильбертову норму вектора ]ф> :
Векторы |ф> и 1х> называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю (<ф1х> =O)-С помощью скалярного произведения с каждым вектором |ф> из ? можно однозначно связать некоторую
<фІх> = <х1ф>
<ФІХ + 0> = <фІХ> + <ф|0> ;
<ф|ад> ==а<ф|0> .
(2.1) (2.2) (2.3)
ІфІ = л/ <ф1ф> •
(2.4) '
32 линейную формуй, определенную на /(|0>) =
= <ОрН>>. Нетрудно убедиться, что множество всех таких линейных форм образует векторное пространство, изоморфное Это пространство будем называть дуальным к ? и обозначать ?> Векторы, принадлежащие дуальному пространству, следуя Дираку, будем называть бра-векторами и обозначать «ящичком» < |.
Согласно определению, каждому бра-вектору <ф1 и кэт-вектору |f>> принадлежит одно-единственное комплексное число <фК>:>. Иначе, скалярное произведение можно формально рассматривать как произведение бра-вектора на кэт-вектор, что объясняет применяемые обозначения и терминологию. Из полноты гильбертова пространства 6 относительно нормы (2.4) следует, что если некоторая последовательность векторов |фі>, |ф2> , ... удовлетворяет критерию сходимости Коши (т.е. для Ve>03yV такое, что для любых п и т> N, I фт — фя|<е)» то существует предел |ф> , причем |ф> ей.
Базисные векторы. Для квантовомеханического описания различных физических систем приходится использовать как конечномерные, так и бесконечномерные гильбертовы пространства. Напомним, что размерность гильбертова пространства (dim ?) — это наибольшее число линейно независимых векторов в ?>. Если такого числа не существует, то говорят, что dim 6=00 • В качестве базиса в ?> можно выбрать любые N (dim ^ = N) линейно независимых векторов \vn^> (п= 1,2, ...). Тогда любой вектор |ф> (|ф> Efi) можно представить в виде конечной или бесконечной суммы">:
Комплексные числа ф" будем называть контравариантны-ми компонентами вектора |ф> относительно базиса Так как в гильбертовом пространстве определено понятие ортогональности, то наряду с контравариантными компонентами вектора |ф> можно ввести ковариантные компоненты фп = <^nIФ> -
^ Комплексная функция /(Ь'»), определенная на ?>, называется линейном формой, если / (а|0> -f?|<p> ) = а/(|0> )-\-bf (1<р> ), где а и b — произвольные комплексные числа.
Из аксиом гильбертова пространства следует, что множество базисных векторов счетное. Поэтому также говорят, что гильбертово пространство обладает счетным базисом.
(2.5)
3. За к. 6718
33 Рис. 2
(Геометрический смысл ко- и контравариантных компонент ясен из рис. 2.)
Рассмотрим матрицу
G = (Gmn),
VJ тп — <vm\vn> , (2.6) которая в силу соотношения
т I Vn> — "cC Vn I Vm >
эрмитова:
(G+)mn ^r3 Gnm rr^ О тп»
G+ = G. (2.7)
т.е.
Так как базис |с„> предполагается полным, то существует обратная матрицаG-1 =(Gmn)1
= of, т.е. G-1G = GG-':
GmnGnk=GknGn Очевидно, что векторы
|и*> =Gtt I o/>
:/. (2.8)
(2.9)
также можно рассматривать как базис в 6, который мы будем называть сопряженным к \vn> , так как
<uk\um> = б*. (2.10) Используя (2.6) — (2.9), нетрудно показать, что
\Vm> =Gkm\vk> , <uk\ = <vm\Gkmy (2.11)
<vm\ = <uh\Gmk, <vm\vk> = Gm*. (2.12)
Из уравнения (2.4) следует, что контравариантные компоненты вектора |ф> могут быть представлены в виде
. (2.13)
Следовательно, ко- и контравариантные компоненты одного и того же вектора связаны между собой посредством матрицы G:
Ф» = Gnk^pky фА =GaV- (2-14)
Переходя от индексной формы записи к матричной, условимся, что первый индекс (верхний или нижний) означает номер строки, второй — номер столбца.
34 Из формул (2.5) — (2.12) для скалярного произведения двух произвольных векторов |ф> и |Ф> находим
< ф I f» = ф; GnmKm = (ф") * GnmOm - Ф= (фП) * 0„. (2. 1 5)
Заметим, что векторы \vk> и |и„> (как и все кэт-век-торы) принадлежат одному и тому же гильбертову пространству ?>, а дуальному пространству принадлежат бра-векторы <ZukI и <Cvn\. Поэтому различие ко- и контравариантных компонент весьма условно. Действительно, ф* — <с VkI ф> и ф*=<уА|ф> можно интерпретировать как ко- и контравариантные компоненты вектора |ф> относительно базиса \uk> или как контра- и ковариантные компоненты этого же вектора, но относительно базиса \ vk> . Последнее становится особенно очевидным, если вектор |ф> разложить по базису \vk> (ср. (2.5)): |ф> = |tT> <^1ф> VkXpk.
Все полученные формулы существенно упрощаются, если перейти к ортонормированному базису \va.> :
