Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть IV (уп, &уп)> —набор ортонормированных векторов в гильбертовом пространстве, где Дуп задает расстояние между соседними дискретными значениями уп(п= 1,2, ... ). Рассмотрим предел, к которому стремятся векторы IV (*/„, &Уп)> при Ді/п-^О, т.е. при переходе от дискретных значений уп к непрерывным. Для этого выберем некоторый вектор |ф> GS и образуем скалярные произведения < v(yn, Д*/„)|ф> . Предел
ф(у)в Iim (2.26)
если он существует, будем рассматривать как скалярное произведение вектора |ф> и некоторого формального вектора I и (у)> :
ф0/)=<^0/)1ф>, (2.27)
который назовем дираковским вектором. Так как соотношения (2.26) и (2.27) должны выполняться для произвольного вектора |ф> , то
38 |„Ы> = Iim 1»(У-.ДУ-)> .
Если для любого вектора |ф> выполняется равенство (ср. (2.5))
|m> = lim Z\v(y„, Ауп)> <v(y„,Ay„)\<p> =
Л//ч—О
= lim 1\и{уп)> <v(yn)\y> Ayrtf
Syn-* О
т. е.
|ф> -Jlt'{у)> <u(y)\<P>dy=\\v(y)><p{y) = dy, (2.28)
то будем говорить, что дираковские векторы \v (у)> образуют полный базис в 5 (несчетный: \v{y)qa<b\ а комплексную функцию ф(у) назовем компонентами вектора |ф> относительно базиса | v(y)> . Подставив в (2.27) вместо вектора |ф> его разложение (2.28), получим следующее условие нормировки для дираковских векторов:
<v(y)\.v(y')> =Цу-у'), (2.29)
где б (у) есть б-функция Дирака. С помощью условия полноты базиса | v (у)> , которому можно придать вид
I=\\v(y)> <v(y)\dy, (2.30)
для скалярного произведения двух векторов |ф> и 1х> из ?> найдем
<ФІХ> *(y)%(y)dy. (2.31)
В заключение заметим, что введение дираковских векторов — это не более чем формальный метод, позволяющий избежать сложных математических вычислений. При этом вопросы, связанные с существованием пределов и сходимости интегралов, остаются открытыми.
§ 2.2. Вектор состояния и наблюдаемые
Для квантовомеханического описания физических величин — наблюдаемых — будем использовать эрмитовы операторы гильбертова пространства, размерность и структура которого определяется свойствами рассматриваемой физической системы. Условимся эрмитовы операторы, соответствующие физическим величинам
At В, С.....обозначать такими же, но рукописными
буквами вВу Я, ... . Для того, чтобы можно было предсказать результат измерения какой-нибудь наблю-
39 даемой, необходимо знать состояние системы непосредственно перед измерением. Как показывает опыт, для описания состояния квантовомеханической системы можно использовать некоторый вектор I1F^ , принадлежащий ? и называемый вектором состояния. Детальные исследования показывают, что в общем случае в качестве вектора состояния можно использовать единичный вектор
<Ч'|Ч'> =1. (2.32)
В случае бесконечномерных гильбертовых пространств условие нормировки вектора состояния (2.32) гарантирует, что \XV> — «истинный» вектор из т.е. не дираковский вектор, введенный в § 2.1.
Основной постулат квантовой механики состоит при этом в том, что состояние физической системы полностью описывается заданием вектора состояния |ЧГ> . Если неоднократно повторять измерение одной и той же физической величины L, всякий раз возвращая систему в прежнее состояние |ЧГ> , то среднее значение измерения этой величины стремится к пределу
<= <W\. (2.33)
Эрмитовость оператора S ^обеспечивает, что величина , называемая ожидаемым значением наблюдаемой L, будет действительным числом. В процессе измерения наблюдаемой L (предполагается, что перед каждым измерением система находится в одном и том же состоянии |ЧГ>) могут получаться различные результаты, среднее квадратичное отклонение (Str которых от ожидаемого значения <3?> можно представить как ожидаемое значение оператора (-2? — <.&> I)2:
Str S= CxFI^- <&> IfxV> . Учитывая эрмитовость оператора S?, получим
Str <2"=<(^- <ЗГ> I)W\(&—<3r> I)W> =
= \(<?-<<?> I)WI2. Таким образом, неопределенность в измерении величины
L, AL=V Str есть не что иное, как модуль вектора \{ЗГ—<ЗГ>Г?>% т.е. I)W\.
Из этого соотношения и положительной определенности скалярного произведения следует, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы AL = O, имеет вид \{ЗГ— <&> /)V> =0 или
|?> . (2.34)
40 Следовательно, в результате измерения величины L получим с вероятностью, равной единице, ее значение La тогда и только тогда, если непосредственно перед измерением система находилась в состоянии |lF> =Iиа> , где I иа> —нормированный на единицу собственный вектор оператора иа> = La\ua>. (Очевидно, что в этом
случае <2J> = <иа\&иа> =La.) Этот результат очень важен, так как он позволяет определить состояние физической системы сразу после измерения наблюдаемой L. Действительно, если в процессе измерения было получено значение La, то при повторном измерении этой же наблюдаемой, осуществленном непосредственно после первого, с вероятностью, равной единице, должно быть получено также значение La (аксиома идеального измерения). Однако последнее возможно только в том случае, если после первого акта измерения физическая система находилась в состоянии I иа> .
