Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в результате измерения некоторой наблюдаемой могут быть получены только значения, равные собственным значениям оператора (собственные значения эрмитова оператора всегда действительны). Если La невырождено, то в процессе измерения физическая система, первоначально находившаяся в произвольном состоянии |ЧГ>, будет переведена в состояние IvF'^ = = Iиа> , где Iиа> —нормированный на единицу собственный вектор оператора относящийся к собственному значению La. Если же в результате измерения было получено собственное значение Lb, которое Л^-крат-но вырождено, то относительно вектора |4f/> можно утверждать лишь то, что он будет лежать в собственном Л^-мерном пространстве вектора \иь> :
|Ч"> = 1Ь\Ч>/ 2 Ic1FIukbW> I2,
где Nb k
Ib= Z \4> <UkbI -
k — I
оператор проектирования на собственное пространство вектора \иь>\\икь> —ортонормированный базис, введенный в этом пространстве.
Очевидно, что если непосредственно перед измерением какой-нибудь наблюдаемой вектор состояния не был одним из собственных векторов оператора, описывающего эту наблюдаемую, то результат измерения можно предсказать только вероятностно. Поэтому две некоммути-
41 рующие наблюдаемые LwM (т.е. такие, для описания которых используются некоммутирующие операторы S и Л, Л]Ф0) не могут быть одновременно точно измерены, так как некоммутирующие операторы не имеют общих собственных векторов. В частности, для неком-мутирующих наблюдаемых выполняется соотношение неопределенностей Гейзенберга
<ЧГ\[3'УЛ]ЧГ> |.
Вывод этого соотношения (см., например, [52, 53]) основан на применении неравенства Шварца (для V |ф> , \%> : ІфІ'ІХІ ^ І <фІХ> I). справедливого в любом метрическом пространстве с положительно определенной метрикой.
Если собственные векторы I иа> эрмитова оператора S образуют полный базис в ?> (напомним, что собственные векторы эрмитова оператора взаимно ортогональны, т.е. их можно выбрать ортонормированными <иа\ иь> =баь), то, подставляя разложение (2.24) в (2.33), находим
= <44 l&W> = 2 La\ <Ua\X?> I2. a
Из полученного соотношения следует, что I <Wa|Mf> I2== SS Wa — вероятность получить значение La при измерении наблюдаемой L. (Предполагается, что первоначально система находилась в состоянии |ЧГ>.) Если собственные значения оператора S вырождены, то
=ZLa ? \<Uka\W> I2 a k = I
И соответственно
Wa= ^aKuka |Ф> I2. k — 1
§ 2.3. Квантовомеханические уравнения
движения
Рассмотрим некоторую квантовомехани-ческую систему, находящуюся в плоском пространстве-времени в инерциальной системе отсчета. Пусть в момент времени to, измерив полный набор наблюдаемых, был определен вектор состояния IHr (/о)> . Тогда, используя квантовомеханические уравнения движения, описывающие динамику векторов и операторов в гильбертовом пространстве, можно определить вероятности получения конкретных значений при измерении некоторой наблюдаемой в более
42 поздний момент времени (t> to). При этом, очевидно, предполагается, что в интервале времени (/о, 0 никаких измерений не проводилось.
Задача данного параграфа состоит в том, чтобы обобщить квантовомеханические уравнения движения для систем, находящихся во внешних гравитационных полях и в неинерциальных системах отсчета.
Для этого надо прежде всего уточнить, что мы будем понимать под временем. Физическое время t в общем случае может быть определено только локально (см., например, [45]), в то время как при квантовомеханическом описании всей системе соответствует один вектор состояния |ЧГ> , отнесенный к одному моменту времени. Поэтому в качестве «времени» будем использовать некоторый параметр Xy введенный для параметризации семейства 3-мерных пространственноподобных гиперповерхностей f(X):X(x') = const, плотно заполняющих некоторую 4-мерную область Q пространства-времени. Очевидно, что такое 3+ I -расщепление неоднозначно и тесно связано с выбором системы отсчета.
Уравнения движения в гильбертовом пространстве сохраним обычными, придав им, однако, ковариантную форму относительно произвольных унитарных преобразован нй.
При решении конкретных квантовомеханических задач наиболее часто пользуются картинами Шрёдингера или Гейзенберга, уравнения движения в которых имеют следующий вид:
где |ЧГ> иУ - вектор состояния и произвольный эрмитов оператор соответственно. Индексы «S» и «Я» указывают на картины Шрёдингера и Гейзенберга. Произвольные векторы и операторы, записанные в этих картинах, связаны между собой (см., например, [53]) посредством
-?-|Ч'>5=- 4 2?S\XY> s
аХ Fi
(2.35)
J- |Ч'> " = O
43 унитарного преобразования: \XV> S=USH\XY> ну Ss = = Ush^h(Ush)+, где (в предположении (0ЯГ/вХ)ех = 0)
^" = ехр(- { Ush(Ush)+=I.
Картины Шрёдингера и Гейзенберга полностью эквивалентны, так как квантовая механика инвариантна относительно произвольных унитарных преобразований U (A,) (U+U = UU+ = /), т.е. все измеримые на опыте величины (собственные значения эрмитовых операторов, их ожидаемые значения и т.д.) сохраняются при следующей одновременной замене всех векторов и операторов гильбертова пространства: 1ф>-Иф>', где
