Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
В. Комплексные огибающие или зависящие от времени фазоры
Рассмотрим действительнозначный сигнал и(г> (t), который будучи немонохроматическим, характеризуется все же «узкополосным» спектром мощности. Если Av — номинальная ширина спектра в окрестности его центральной частоты vo (рис. 3.13), то данное требование выражается неравенством Av vo. 106
Глава З
Такой сигнал может быть записан в форме
w(r> (/) = a (f) cos [2jtv0* — <р (0], (3.8.15)
где A (t)— медленно меняющаяся огибающая, а ф(0~ медленно меняющаяся фаза. В хорошем приближении удвоение положительно-частотных компонент и отбрасывание отрицательно-частотных компонент приводит к аналитическому сигналу только C одной экспоненциальной компонентой (3.8.15)
и (I) = A (О є'* (<>е-'2лЧ (3.8.16)
По аналогии с монохроматическим случаем определим зависящую от времени фазорную амплитуду, или комплексную огибающую, и(0 как
А (О А Л(0е/ч>(''. (3.8.17)
Для любого (широкополосного и узкополосного) сигнала мы можем записать аналитическое сигнальное представление в виде
и (/) = A (/) е-'2""'. (3.8.18)
Если сигнал узкополосный, то комплексная огибающая A(Z) изменяется значительно медленнее комплексного множителя ехр(—/2.-tvoO 11 IА(01 приблизительно совпадает с огибающей A(t) в формуле (3.8.15).
Г. Аналитический сигнал как комплексный случайный процесс
Если действительный сигнал «<r>(Z) является выборочной функцией случайного процесса U(t), то аналитический сигнал можно рассматривать как выборочную функцию комплексного случайного процесса U(Z). В данном пункте мы рассмотрим некоторые основные свойства такого случайного процесса.
Читателя может смутить то обстоятельство, что мы определили аналитический сигнал через фурье-образ действительнозначного сигнала, а для случайного процесса такой спектр не существует. Но мы можем определить аналитический сигнал иначе, а именно в виде
и (О А [б (0- If ] * "(г) (0. (3.8.19)
в полном согласии с определением (3.8.8), но без введения фурье-образа. Тогда аналитический сигнал, представляющий выборочную функцию случайного процесса, будет действительно хорошо определенным.
Для полного описания случайного процесса U (Z) нужно задать совместное распределение для действительной и мнимой частей процесса для всех возможных наборов моментов вре- Случайные процессы
107
мени. Однако задать распределение процесса U(0 даже в отдельный момент времени, вообще говоря, затруднительно, так как совместное распределение действительной и мнимой частей должно отыскиваться на основе известного распределения только действительной части и соотношения, выражающего преобразование Гильберта:
с>
»<''>(0 = 4- f X=T^- (3.8.20)
— OO
Такая задача может быть решена без большого труда только в случае гауссовского процесса, который рассматривается в следующем параграфе.
Но независимо от вида соответствующих плотностей распределения, как правило, представляют интерес автокорреляционные функции и взаимные корреляционные функции действительной и мнимой частей процесса Чтобы найти эти функции, прибегнем к интерпретации преобразования Гильберта как линейной фильтрации, описываемой формулой (3.8.14). Пусть функция Г^'г)(т) представляет собой автокорреляционную функцию действительного процесса U(t), который предполагается стационарным хотя бы в широком смысле, но в остальном произвольным. Соответствующая спектральная плотность мощности действительного процесса имеет вид
+ 00
3?- r> (v)= 5 Гу г) (т) е'2Лч/х d%' (3.8.21)
— 00
Спектральная плотность мощности мнимой части процесса представляется величиной На основании формул
(3.3.12) и (3.8.14) находим
Sft0(V) = I-/SgnvI2Sfr r>(v).
Кроме того, если случайный процесс UV"> (t) имеет нулевое среднее (т. е. его спектральная плотность мощности не имеет компоненты типа б-функции при v = 0), то можно написать
Следовательно, и, таким образом,
I —/Sgnvl2= 1.
" (v) = %'ії °(v) if >(t) = lf (т),
(3.8.22)
(3.8.23)
(3.8.24) 108 Глава З
Что касается взаимных корреляционных функций
Tfr V)= V+ ^V),
__(3.8.25)
Tfr V) = "(V + t) Uin (()
то мы воспользуемся формулами (3.5.8) и (3.8.14), считая, что один фильтр имеет единичную передаточную функцию, а другой— передаточную функцию— /sgn v. В результате получим
(> (v) А {Г(и (т)} =
= 1-(+/ sgn V) »fr п (v) = І sgn v^frr) (v) (3.8.26) н аналогично ^tf r) (v) = {Гу г> (т)} =
= (- І sgn v) • 1 • &ru r) (v) = - і sgn V • »fr r) (v). (3.8.27)
На основании этих результатов мы заключаем прежде всего, что
TfrV) =-TfrV), (3.8.28)
и, кроме того, в силу формулы (3.8.27) имеем
і +Г Tir- г>
rfr V) = i f jbr^l. (3.8.29)
— со
Для удобства в последующих приложениях определим автокорреляционную функцию комплексного случайного процесса
как _
Ty (t2, M = U(Z2)U-(Z1)- (3.8.30)
Если действительная и мнимая части процесса U(Z) стационарны хотя бы в широком смысле, то величина Ги(т), определенная таким способом, обладает следующими основными свойствами:
1) Гу (0) = [ио (Z)]2 + [««> (Z)]2.
