Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
І 2 7
§ 1. Распространение световых волн
Сначала рассмотрим нестатистический вопрос о распространении световых волн как необходимую основу для излагаемого в последующих главах материала. Мы просто сделаем краткий обзор, дополненный сводкой основных результатов. Подробнее по данному вопросу см., например, [4.3, гл. 8; 4.4, гл. 3].
А. Монохроматический световой сигнал
Пусть u(P,t) — скалярная амплитуда одной компоненты поляризации электрического или магнитного поля, связанной'с монохроматическим оптическим сигналом1). (В соответствии с подходом, принятым в скалярной теории, мы рассматриваем каждую компоненту независимо.) Здесь P — пространственные координаты (точки), а параметр t— момент времени. Аналитический сигнал, связанный с и(Р, t), имеет вид
U (Р, O = U (P. v)exp(-/2jtv0, (4.1.1)
где V — частота волны, a U(P,v)—ее ^ фазорная амплитуда. Рнс 4л Ге0метрия процес-
Пусть эта волна падает слева на не- са распространения,
ограниченную поверхность (рис. 4.1).
Мы хотим определить фазорную амплитуду поля в точке P0 справа от этой поверхности через характеристики поля на поверхности 2. Решение этой задачи может быть найдено в большинстве учебников по оптике (см., например, [4.3, 4.4]). Представим здесь решение в форме, отвечающей так называемому принципу Гюйгенса — Френеля, согласно которому на расстоянии г (см. рис. 4.1), намного большим длины волны X, справедливо выражение
I г с Pl2n irM
U (Р0> V) = -д- \\ U (Р„ V)^7-X(8)dS, (4.1.2)
S
где Х = с/\—-длина волны света (с — скорость света), г — расстояние OT ТОЧКИ Pi до точки P0, 8 — угол между прямой ли-
') Начиная с этой главы, мы будем одинаково обозначать случайный процесс и его выборочные функции. Хотя в чисто статистических рассуждениях имеет смысл обозначать процесс заглавной буквой, а выборочную функцию — строчной, такое различение, как правило, не требуется в физических приложениях теории. Лишь для плотности распределения мы сохраним обозначение в виде заглавной буквы, отвечающей рассматриваемой случайной переменной. 120
Глава З
нией, соединяющей P0 и Pu и нормалью к поверхности Е, а Х(6)—«коэффициент наклона»: х (O)=I и
Принцип Гюйгенса — Френеля можно интерпретировать наглядно следующим образом. Каждая точка на поверхности E действует как новый «вторичный источник» сферических волн. Напряженность поля вторичного источника в точке Pi пропорциональна (Z^)-lU(Pi1V), и этот источник излучает с амплитудным коэффициентом направленности %(9)-
Принцип Гюйгенса — Френеля, выражаемый формулой (4.1.2), будет играть для нас роль фундаментального физического закона, описывающего распространение монохроматического света. Кром.е того, как мы увидим далее, он позволяет найти аналогичные соотношения для немонохроматического-света.
Б. Немонохроматический световой сигнал
Пусть и(Р, t) — немонохроматическая волна, описываемая аналитическим сигналом u(P, t). Хотя функция u(P,t), вообще говоря, не допускает преобразования Фурье, мы можем обрезать ее на границах интервала (—Т/2, Т/2) и получить функцию Ut(PJ), допускающую преобразование Фурье. Теперь Ut(PJ) может быть представлена аналитическим сигналом uT(P, t), допускающим преобразование Фурье даже в том случае, если его мнимая часть остается необрезанной.
В соответствии с основными свойствами аналитических сигналов, в частности с формулой (3.8.8), мы имеем
со
Ur (Р, () = J 2UT (Р, V) е-'2™' dv, (4.1.3)
о
где Я1Т(Р, v) — фурье-образ действительного сигнала ut(PJ).
На основании этого соотношения мы теперь выразим u (Po, 0 через и (Рь 0, гДе Po и Pi — точки, показанные ранее на рис. 4.1. Для начала заметим, что
OO
U (P0, О = Iim ur (Po, O = Iim [ 2Щ (P0, v) е~dv. (4.1.4)
T-* СО T OO J
Но в силу принципа Гюйгенса — Френеля [формула (4.1.2)] имеем
I г Г /2л (г Д)
Ur (P0, V) =-Ji)) Ut (P1, V) —r-X (6) ds. (4.1.5) Некоторые статистические характеристики первого порядка І 2 7
С учетом выражения (4.1.3), изменив порядок интегрирования и заметив, что X = c/v, напишем
сю
ur (P0I) = J 211т (Po, V) е-IW dv =
о
e SS4S-[S (-Z2jrv)uT(Pu v)e-'W-(r/c>ldvJdS. (4.1.6)
Дифференцирование выражения (4.1.3) по t приводит к выражению
OO
-Jf ur (Plt t) = 2 $(- /2JIV) Ut (P1, V) еdv, (4.1.7) о
и, следовательно, величина в квадратных скобках в формуле (4.1.6) может быть выражена через производную по времени. В результате имеем
^O-SS wit^'-(4...8,
X
При T-*-оо мы получим отсюда фундаментальное выражение, описывающее распространение немонохроматических волн:
U(Po. O=SS wd0u^rwc'1 X<Р)dS. (4.1.9)
X
В заключение напомним читателю, что в нашем выводе использована форма принципа Гюйгенса — Френеля, справедливая в случае, если расстояние г (см. рис. 4.1) намного больше длины волны X, и поэтому аналогичные ограничения относятся и к формуле (4.1.9). Это условие хорошо выполняется во всех задачах, с которыми мы встретимся далее.
В. Узкополосиый световой сигнал
В качестве еще одной последней формулы, которая понадобится в будущем, найдем специальную форму выражения (4.1.9), относящуюся к случаю немонохроматического светового сигнала с узкополосным спектром, т. е. света с шириной полосы Av, намного меньшей, чем центральная частота^.
