Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Выполняя окончательное усреднение по К, получаем
^(V) = К + -?^ (3.7.17)
(Kr
Но для величины К, подчиняющейся пуассоновскому распределению, мы имеем K2 = (К)2 + К, а отсюда
& и (v)=~K + »UV). (3.7.18)
Таким образом, спектральная плотность энергии пуассоновского импульсного процесса состоит из постоянной К и спектральной плотности энергии скоростной функции. Заметим, что из-за наличия постоянной К полная энергия, связанная с процессом U(t), является бесконечной, даже если X(t) имеет конечную энергию.
Если скоростная функция не допускает преобразования Фурье, но имеет конечную среднюю мощность, то следует сделать некоторые изменения в предыдущих рассуждениях. Во-первых, мы обрежем случайный процесс U(t) так, чтобы он тождественно равнялся нулю вне интервала (—Г/2, Т/2). Тогда отдельная выборочная функция Ut(t) может быть снова записана с использованием К + 1 случайных переменных:
к
ит(0= E 6 (/-/*), (3.7.19)
fc=i
и соответствующий фурье-образ дается выражением
к
Ilr(V)=Z ехр (i2nvtk). (3.7.20)
fc=i
Плотность распределения в моменты времени tk должна быть выбрана в виде
х Cfc) T ^ , ^T
T12 — при ~Y<tk^T
PtM = I J Wdt (3.7.21)
-Г/2
0 в других случаях.
Спектральную плотность мощности вычисляем, исходя из определения:
SUv)= Hm -I-E [\<UT(v) I2] =
Г->оо 1
= Iim
Т-+0о 1
г к к ,
Е Z Z exp[/2jiv(4-g] . Lfc=I <3=1 J Случайные процессы
97
Среднее вычисляется так же, как и ранее. Обозначив среднее число событий в интервале T через Rr, находим
9i
u(v) — lim [
Т-У оо
Ho
KT SST (у) I2' T T
T12
Iim -X= Iim ^r [ X (t) dt A(X),
T-* со ' T-*OO 1 J
Iim
Г-> СО
-T12
Xt (V) I2
АН,
(3.7.22)
(3.7.23)
где <Я> — усредненная по времени скорость процесса, a ^(v) — спектральная плотность мощности скоростной функции X(t). Таким образом, выражение
9и (V)=W +Sk(V)
(3.7.24)
определяет искомое соотношение между спектральными плотностями мощности процессов U(t) и X(t). На рис. 3.10 в нагляд-
VuM
<Я)+Ш°)
Рис. 3.10. Спектральная плотность мощности пуассоновского импульсного
процесса.
ной форме представлено соотношение между функциями Su(v) и SMv). Заметим, что процесс U(t) отвечает бесконечной полной средней мощности, даже если средняя мощность, отвечающая процессу X(t), конечна. Заметим также, что пределы, появляющиеся в выражениях (3.7.22) и (3.7.23), предполагаются существующими, по крайней мере в смысле б-функций.
Д. Дважды стохастические пуассоновские процессы
Предположим, что X (t) — не известная функция, а отдельная выборочная функция случайного процесса A (t). Различные моменты случайного процесса IJ(t), вычисленные ранее, могут 98
Глава З
теперь рассматриваться как условные моменты, обусловленные конкретной реализацией функции X(Z)- Моменты такого дважды стохастического пуассоновского процесса можно вычислить просто путем усреднения предыдущих результатов по статистическому распределению для случайного процесса A(t).
Проиллюстрируем сказанное на некоторых простых примерах. Ранее было установлено [формула (3.7.2)], что для известной функции X(t) среднее число событий в интервале (ti, h) определяется выражением
ti
Ek^(K) =\x(t) dt.
Если X(t)—выборочная функция стационарного случайного процесса A(Z), то мы должны дополнительно провести усреднение по Л, чтобы получить
и_
K = J Щ) dt = Xr, (3.7.25)
и
используя на последнем этапе стационарность процесса A(Z) и положив х = t2 —1\.
Что касается второго момента числа К, то для заданной выборочной функции X(t) мы получим
t2 ti
Ek IX UC2] = J X (t) dt+W X (I) X (л) dl d4. (3.7.26)
ti и
Вычисляя среднее по ансамблю, представляющему процесс A(Z). находим
K2 = Ir + $$ГЛ (I- л) dld4, (3.7.27)
и
где Гд — автокорреляционная функция процесса A(Z), который предполагается стационарным в широком смысле. Путем соображений, аналогичных тем, которые привели к формуле (3.4.9), мы можем свести двойной интеграл к однократному: и *
$$Гл(І-л)ад = 2т$ (і --|-)ГлМ. (3.7.28) <, _ о
Заметив, что Гл (?) = (A,)2 + Ca (?), где Ca (I) — автокорреляционная функция процесса A (t), получим
T
K2-=K + (R)2 + 2т J (1 - f) Сл (S) dl. (3.7.29) о Случайные процессы
99
Эквивалентно этому дисперсия O2k числа К определяется как
г
(T2X = К + 2т J (1 - I") Ca (I) dl, (3.7.30)
о
2 —
что превышает дисперсию о к = К, связанную с пуассоновским импульсным процессом, скоростная функция X(Z) которого известна. Высшие моменты определяются статистическими флук-туациями, связанными со случайным процессом A(Z). Дальнейшее обсуждение этого обстоятельства, так же как и более детальное вычисление cr2, мы отложим до гл. 9.
Рассмотрим, наконец, модификации выражений (3.7.18) и (3.7.24) для спектральной плотности энергии и спектральной плотности мощности в случае, когда X(Z) — выборочная функция случайного процесса. По определению спектральная плотность энергии и спектральная плотность мощности имеют вид
