Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
АДЛехр(йр) (3.8.3)
и характеризующая амплитуду и фазу монохроматического сигнала. Заметим, что мнимая часть указанного комплексного представления выбрана не произвольно, а в тесной связи с исходным действительнозначным сигналом.
Какие же именно операции осуществляют переход к конкретному комплексному представлению (3.8.2)? На этот вопрос легче всего ответить, перейдя к частотной области. Разложим наш действительнозначный сигнал на комплексные экспоненты:
W<'> (/) = А. е-/Фе/2ЯУ,< _}_ A e/<pe-/2JiVo<_
Обозначая оператор преобразования Фурье через }, заметим далее, что
[е'^'} = б (V + V0), gr {e-/2xiv„<} = б (v —• V0).
Поэтому фурье-спектр функции U1-rHt) имеет вид
« (V) = у- е-!Ч (V + V0) + 4 е/Фб (v - vo>-
Для комплексного же представления и(0 мы имеем
T {U (0} = Ae^6 (V - V0). (3.8.4)
Итак, соотношение между функциями u(r)(t) и u(f) состоит в следующем: при переходе от и^Ці) к и(/) мы удваиваем амплитуду компоненты с положительными частотами и полностью исключаем компоненту с отрицательными частотами. Такая операция для монохроматического случая показана на рис. 3.11. Именно эта весьма специальная операция устанавливает определенную связь между действительной и мнимой частями и(/). Случайные процессы
103
r{u(f)}
Ллощадь
\
Ллошрдь
-V0
vO
V
Площадь AeJf
V0
Рис. 3.11. Спектры Фурье, а — монохроматический действительнозначный сигнал; б — его комплексное представление.
Б. Представление немонохроматического сигнала в виде комплексного сигнала
Предположим, что задан комплексный немонохроматический сигнал uir) (t) фурье-образом 11 (v) и нужно представить сигнал и^Ці) в виде комплексного сигнала u(Z). Мы можем поступить точно так же, как и в монохроматическом случае, удвоив компоненты с положительными частотами и опустив компоненты с отрицательными частотами. Следовательно, приходим к определению
и (ОД 2 J U(v)e~'2nvt dv.
(3.8.5)
Фуикция и(t) называется аналитическим сигнальным представлением сигнала u(t). Относительно свойств аналитических сигналов см. работы [3.1, 3.2].
Прежде чем переходить к свойствам аналитического сигнала, следует разъяснить одну математическую тонкость. Эта тонкость касается того именно, что делается со спектром при v = 0 в процессе перехода от u(r)(t) к u(t). Этот вопрос несуществен, если u(r)(t) не содержит компонент типа б-функции при V = O, так как изменение спектра на конечную величину в отдельной точке не влияет на u(t). Если же u(r)(t) содержит компоненту типа б-функции при v = 0, то мы будем считать, что эта компог нента остается без изменений. Эта договоренность позволяет нам записать операцию перехода от u(r)(t) к u(t) в частотном представлении следующим образом:
<M(v)^[l + sgnv]<M(v), (3.8.6)
где
+ 1 при V > 0, SgnvAl 0 при V = O, (3.8.7)
— I при V < 0. 104 Глава З
Таким образом,
4* оо
11(/)= J [1+sgnv]^(v)e-/23IV<dv. (3.8.8)
Приведенное выше интегральное фурье-представление функции и(t) позволяет нам выявить некоторые важные свойства аналитического сигнала. Обозначив оператор обратного преобразования Фурье через }, мы видим, что функцию и (О можно представить в виде суммы двух членов:
и (t) :{<U(v)} + З"1 {sgn v<U(v)}.
Первый член — это просто первоначальный сигнал u(l">(t). По теореме о свертке второй член можно представить в виде
{sgn \<U (v)} = {sgn v} * {<U (v)}. Замечая, что 9- 1 {sgn v} = — j/nt (приложение А), находим
+ OO ^ ^
u (t) = иH (0 + -f f T=T (3-8-9)
-OO
-OO
где символ j- указывает, что интеграл должен быть взят в
— OO
смысле главного значения по Kotuuf т. е.
+оо rt-e , +0° T
і f S ^ + S ^4
— оо оо г 4-е
(3.8.10)
Интегральное преобразование (3.8.10) называется преобразованием Гильберта функции u(r)(t) (подробнее о преобразованиях Гильберта см. в работе [2.9]).
Исходя из выражений (3.8.8) и (3.8.9), можно теперь установить следующие важные свойства аналитического сигнала:
1) и<'>(0 ARe (U(O), (3.8.11)
(г)
2) и<0(О A Im {u(0) =^- f u^fl , (3.8.12)
3) T {«<'> (O) = - / sgn V • У {и<г> (O) =
= _ j sgn V • <U (v). (3.8.13)
Итак, действительная часть аналитического сигнала, в самом деле, является действительнозначным сигналом, с которого мы начали. Мнимая же часть аналитического сигнала — это просто Случайные процессы
105
преобразование Гильберта первоначального сигнала. Спектр мнимой части аналитического сигнала можно получить, умножив спектр действительной части на —/ sgn v.
Последнее свойство, представляемое формулой (3.8.13), допускает полезную интерпретацию. Мнимую часть аналитиче-
Рнс. 3.12. Построение аналитического сигнала нз действительнозначного сиг
нала.
VvM
Рис. 3.13. Спектр мощности узкополосного сигнала.
ского сигнала можно рассматривать как результат прохождения действительной части через линейный, инвариантный во' времени фильтр с передаточной функцией
Ж (v)= -/sgnv. (3.8.14)
Назовем такой фильтр «гильбертовским» фильтром. Построение аналитического сигнала и(0 из действительного сигнала w(r,(Z) можно изобразить графически так, как это показано на рис. 3.12.
