Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что у нас имеется набор большого числа N «событий», которые мы «рассыпали» по бесконечному временному интервалу. Можно построить случайный процесс, если ввести единичную импульсную функцию во временной «точке» Случайные процессы
93
каждого события. Предположим, что N событий рассыпаны по временной оси в соответствии со следующими гипотезами: N моментов времени tk(k = 1,2, ..., N), отвечающих событиям, во-первых, статистически независимы и, во-вторых, одинаково распределены с плотностью распределения p{tk).
Опираясь на эти два предположения, мы легко найдем, что число К событий, приходящихся на любой подынтервал t2), подчиняется биномиальному распределению:
Ot2 12 1N-K
I L1-S •
Предположим теперь, ЧТО N-*оо и p(t)->0, причем
Np (о = X (0 (3.7.9)
остается фиксированным для каждого момента времени t. Вероятность попадания К событий или импульсов в интервал {tu ti) при любом фиксированном N имеет вид
Ot2 -.Л |- <2 -|N-K
I MEMEj MOdEj •
Полагая N очень большим, получаем
[<, ,JV-K р и -1JV , и Ч
-JrIjMSMSJ ехрI — JA.(E)rfgI,
N(N-I) ... (N-K + l) Nk
Таким образом
->1.
[(2M^if „
Iim P (К; tu h) = —— ехр J-J * (g) dl j,
т. е. мы снова получим пуассоновское распределение. Кроме того, так как времена событий tk статистически независимы и существует неограниченный их источник (N-^oo), число событий, попадающих в один интервал, не дает никакой информации о числе событий, попадающих в другой, не перекрывающийся с ним интервал. Следовательно, числа событий в неперекрывающихся интервалах статистически независимы.
Таким образом, мы пришли к одной и той же модели слу- 94
Глава З
чайного процесса, исходя из двух разных наборов гипотез. В дальнейшем мы будем пользоваться тем набором гипотез, который будет лучше соответствовать нашим целям.
Г. Спектральные плотности энергии и мощности пуассоновских процессов
В этом пункте мы будем исследовать спектральную плотность энергии и спектральную плотность мощности пуассоновских импульсных процессов. Заметим, что, поскольку такие процессы представляются идеальными б-функциями, а идеальная 6-функ-ция отвечает бесконечной энергии, интересе этом случае должна представлять только спектральная плотность мощности. Но, как мы увидим, спектральная плотность энергии является полезной
величиной, если скоростная функция X(t) допускает преобразо-
4-00
вание Фурье, т. е. ^ |А(/)|Л<оо. Если же скоростная функ-
-OO
ция не допускает преобразования Фурье, но имеет конечную
+ со Г/2
среднюю мощность, т. е. \ I X(t)\dt = ОО, но Iim (1/Г) \ X2(t)d(<
J T-* со J
-СО ^ -Г/2
< оо, то величиной, представляющей наибольший интерес, является спектральная плотность мощности. Предположим снова, что X(t) — полностью детерминированная функция, а обобщения отложим до п. Д.
Пусть X(t)—функция, допускающая преобразование Фурье. Выборочная функция соответствующего пуассоновского импульсного процесса может быть представлена в виде
к
u(t)=Z o(t-tk), (3.7.10)
fc-i
т. е. в виде функции К + 1 случайных переменных, а именно tu h, • • •, ік и К. Эта выборочная функция имеет фурье-образ
к
U (v) = Si ехр (/2яvtk). (3.7.11)
Спектральная плотность энергии для этой одной выборочной функции имеет вид
к. к
l«(v)P=Z Z exp[/2nv(^ —^)].
fc=l Q=I
Таким образом, для спектральной плотности энергии случайного процесса U(t) получаем
Su (V) = E [ IU (v) I2] = е{ S E ехр [i2nv (tk - g]
«-і
J- (3.7.12) Случайные процессы
95
Теперь вычисление среднего ПО переменным Z1, t2, . . . , t/( И К может быть выполнено в два этапа. Сначала мы выполним усреднение по временам tk, предполагая, что число К задано, а затем — по К. Эта процедура основана на свойстве
P(tu t2.....tK, K) = p(U, t2.....tK\K)P(K).
Таким образом, выражение (3.7.12) можно переписать в виде
«и (V) = Ek { E І Em к (ехр [/2JTV (tk - tq)]} }. (3.7.13)
ifc = i <7 = 1 )
где символ E1с означает среднее по отношению к К, а Ецк — среднее по отношению к совокупности времен tk при заданном К.
Вспомним, что времена tk являются одинаково распределенными, независимыми случайными переменными. Кроме того, в силу пропорциональности (3.7.9) между p(t) и X(t) мы должны иметь
P (tk)= +J-{tk) . (3.7.14)
^ X(t)dt
-OO
где нормировка выбрана так, чтобы площадь функции была равна единице. Чтобы выполнить операцию усреднения, удобно рассмотреть два разных набора членов. Имеется К отдельных слагаемых, для которых k = q, и каждое такое слагаемое дает вклад, равный единице. Кроме того, имеется K2 — К слагаемых с k^q. На основании формулы (3.7.14) и независимости времен tk и t, находим
?<|A{expl/'2nv(ffc-/,)]} =
-fco -fco
S s Htq)e-^dtq
-fco -fco
^ k(t)dt Ц X (t) dt
— CO -OO
I 2 (V) I2 Sx (v)
= ' - (k?°q), (3.7.15)
(К)г (K)2 v^1"' v '
где X(v) — фурье-образ функции A(Z), a SK(v)— спектральная плотность энергии для функции A(Z) и использовано выражение [формула (3.7.2)]
+ OO ^
[ X (Z) dt = K- (3.7.16) 96 Глава З
