Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
+ OO
МО« S h(t-1)UT (I) dl, (3.3.11)
— OO
которое тем точнее, чем больше Г1). В том же приближении в частотном представлении мы имеем соотношение
V7 (V) ~ Ж (v) <UT (v).
Спектральная плотность мощности функции v(t) может быть теперь записана в виде
^-Ila""1У"'''-lim
Г-»0 1 Г-+СО 1
-umm-'' 'У П.
или, что эквивалентно,
9V (V) = I Ж(V) I2 Su(V). (3.3.12)
') Приближенность возникает потому, что отклик фильтра на обрезанное возбуждение сам по себе не является, вообще говоря, обрезанным. С увеличением Т, однако, роль этих концевых эффектов убывает до пренебрежнмого уровня. 78
Глава З
Таким образом, спектральная плотность мощности выходного случайного процесса равна просто произведению квадрата модуля передаточной функции фильтра на спектральную плотность мощности входного случайного процесса.
§ 4. Автокорреляционные функции и теорема Винера — Хинчина
В теории когерентности (гл. 5) очень важная роль отводится корреляционным функциям. Поэтому вначале рассмотрим здесь понятие автокорреляционной функции.
Если задана отдельная известная функция времени u(t), которая может быть одной выборочной функцией случайного процесса, то временная автокорреляционная функция, отвечающая функции u(t), определяется следующим образом:
Г/2
Г у (т) Д (и (t + T)u (0) = Iim 4 \ " (t + т) и (/) dt. (3.4.1)
T-+оо 1 J
-Г/2
Аналогично определяется статистическая автокорреляционная функция, которая, однако, характеризует весь случайный процесс U(t):
+ •¦о
гс/(?. 0=4"?) и Ci)= ЩЩРиіЩ, "2; k, t,) du ^u2 (3.4.2)
-OO
С физической точки зрения временная автокорреляционная функция есть мера структурного подобия функций u(t) и u(tт), усредненная по всем моментам времени, а статистическая автокорреляционная функция—мера статистического подобия функций u(tі) и u(t2), усредненная по ансамблю.
Для случайного процесса, стационарного хотя бы в широком смысле, Ги является функцией только разности времен х = t2— t\. Для более ограниченного же класса эргодических случайных процессов временные автокорреляционные функции всех выборочных функций равны друг другу, а также равны статистической автокорреляционной функции. Поэтому для эргодических процессов
Г(т) = Гу(т) (все выборочные функции). (3.4.3)
Следовательно, для таких процессов не имеет смысла различать эти два типа автокорреляционных функций.
Для процессов, стационарных хотя бы в широком смысле, из определения прямо следуют два важных свойства автокор- Случайные процессы 79
реляционных функций:
1>Г"'°» = ""г' (3.4.4)
2) Г„(-т) = Г„(т).
Третье свойство
3) ITu(T)Kru(O) (3.4.5)
может быть доказано на основании неравенства Шварца [см. рассуждения, приводящие к неравенству (2.4.16)].
Однако основное практическое значение автокорреляционных функций заключается в том, что существует весьма специальное соотношение, связывающее их со спектральной плотностью мощности. В последующем изложении мы покажем, что для процессов, стационарных хотя бы в широком смысле, автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности являются фурье-образами друг друга:
^y(V)= 5 Tu(T)eI^dr,
Z (3.4.6)
Гу(т)= J 9u(v)e-i*™ dv.
— OO
Данное положение называется теоремой Винера — Хинчина.
Чтобы доказать ее, начнем с определения спектральной плотности мощности:
E IcUt (V) cU !.(V)]
9U (V) = Hm 1 ТУ ' г[ . (3.4.7) г-*<*> 1
Так как и (t) — действительная функция, мы имеем U*T (v) = = iMr (—v); далее заметим, что 1J
+ OO
Ut(V)= \ rect4 u(t)exp(j2nvt)dl,
+ OO
(3.4.8)
Ut (—v)= 5 rect ^T и (ті) ехр (- j2nvr\) dv\.
Подставив (3.4.8) в (3.4.7), найдем
+ OO
= rect ± rect і ? [И(|)И(П)] X
Xexp [/2JXV (Е — Ti)] dl dm.
') Функция rect де равна единице при |х| ^ 1/2 н нулю в остальной области. 80 Глава З
В этом среднем значении мы узнаем статистическую автокорреляционную функцию процесса U(t). Для большей общности мы допустим, чтобы величина Гу(|, rj) зависела как от так и от г], отложив пока что наше предположение о стационарности. В результате получим
E [Wt(V) Pj 1
S J red -|г rect -f Гу (I, ц) ехр [j2nv (I - ц)] dl А|.
Теперь путем простой замены переменных I на ^ + т и rj на і преобразуем интеграл к виду
+ OO
E ГI <UT (v) I2I 1 e r t + * *
11 Тт 1J =-т\ \ rect —f— rec* — г (t + т, t) ехр (j2nvr) dt dx.
— со
Спектральная плотность мощности Su (v) — предел этой величины при Г->-оо. Меняя порядок интегрирования по т и вычисления предела, а также замечая, что при любом фиксированном т
+ OO
Iitn Jr \ rect rect 4- г (/ + T1 t) dt = <Г {і + T1 t)), г-» оо yJ 1 1
-OO
получаем
+ OO
(v) = S (Гу (t + т, 0) e/2nvt dx, (3.4.9)
— OO
где угловыми скобками, как обычно, обозначено усреднение по времени.
Выражение (3.4.9) показывает, что спектральная плотность мощности любого случайного процесса, стационарного и нестационарного, может быть найдена как фурье-образ усредненной (по определенному правилу) автокорреляционной функции. Если случайный процесс является стационарным хотя бы в широком смысле, то мы имеем +т, 0 = Га(т) и
