Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
с1Е{з.) _ Й2з ЗЛз2 __________
da 4 [ад2 ' (а + 1)4
Откуда
_("о+П4 = V2Aixa2 __ 22,3; я =1,34. ао й2
Величина энергии при этом значении параметра
Е = - 2,14 Мэе.
Точное решение этой задачи приводит для указанных величин А и а к
значению Е= - 2,2 Мэе (ср. предыдущую задачу).
11. Уравнение для радиальной части волновой функции при г < а имеет вид
1 d / 2dR\ 1(1+ 1) D , fc2D n
136
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
,, 2jЕ
при г = a, R - 0.
Введем вместо R новую искомую функцию у (г) по формуле
'^P=R(r).
V г
Подставляя в уравнение (1), мы получим для у (г) уравнение
= о.
решением которого являются функции Бесселя полуцелого порядка:
/ О) = Ji+ъ (kr)'
R(r) = -j=Jl+,s(kr).
Yr
Значения энергии стаи-ионаРных состояний опре-
деляется из условия обращения в нуль функции Бесселя при
г = а
Ji+i;2(ka) = 0,
а с - из условия нормировки.
Наиболее просто определить уровни энергии для частицы с моментом 1 = 0. В
этом случае
J4lkr) = j/~ sin kr
и энергия
" ___ /i2 n2rJ2
12. Задача сводится к решению одномерной задачи с потенциалом
( -U0 0 < г < а,
{У (/¦) = { 0 г>а,
{ со г < 0.
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
137
Полагая в задаче 4 § 1 U1=cо, U2~U0, получаем уравнение, определяющее
уровни энергии в дискретном спектре
Ш
ka ¦
- ш - arc sin ¦
Y2mE
Y 2mU0
Уровни энергии легко найти с помощью графического построения (см. рис.
24).
Глубина ямы, при которой появляется первый дискретный уровень, равна
--й2
II =
0 8 та1'
13. При "закруглении" краев ямы все уровни сместятся вверх, т. е.
ДЕ > 0. Состояниям с большими / соответствуют большие смещения уровней,
так как частицы, находящиеся в состоянии с большими моментами количества
движения, проводят относительно большую долю времени вблизи края ямы.
14. Радиальная волновая функция удовлетворяет уравнению
у:+%(.E-U)-V
0.
В области I, где U = 0, решение, обращающееся в нуль при г = 0
: A sin kr, k2 =
2(j.E
* '1 ...... ,v №
В области 11 (U = U0) общее решение имеет вид
Коэффициенты В+ и В_ определяются из условия непрерывности 'I и у/ на
границе областей I и II:
A sin krx - В+ -)- В__,
^ftcos krx = у-(В+ - В_).
138
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Откуда
в+ = в__ =
Решение в области
А ^sin krl у cos kr^j ,
^sin kri - -^-cos kr^. , где снова U - 0
(1)
Условия непрерывности на границе областей II и III дают:
:С+ + С_,
X (В+е' - В_е~" {Г1~Г')) = Ik (С+ - С_).
X (^"Л)
Отсюда находим
+7B-('-s) + тв-(1 +г)г
Выразим С+ и С_ через Л с помощью (1):
-* ('¦а-П)
с4
• A sin krx (1 -j- ~ j ех ('2
+ -ct gkrx
& (r.-r,)
(2)
J
Выражения (1) и (2) определяют вид стационарной волновой функции частицы.
Поведение волновой функции существенно зависит от энергии частицы.
Рассмотрим зависимость С+ и С_ от энергии. Будем предполагать, что
величина у:(r2- rt)1. Тогда всеми членами, содержащими множи-
тель е
можно пренебречь и
- 4sin kr' (1 + ш)е*(r* Г1) (1 + ictg kri)'
с
:C+.
Таким образом, если величина в фигурной скобке не слишком мала,
коэффициенты С+ и С_ значительно превышают А, т. е. волновая функция
заметно отлична от нуля только
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
139
в области III (рис. 25, а). При некоторых значениях энергии, когда
выражение в фигурной скобке (2) мало, С+ и С_ могут принять аномально
малые значения. Такие энергии
Utr)U_________
ио
лежат вблизи значений Еп, определяемых из трансцендентного уравнения
i+y
• ct<
У1
2\>.ЕГ
О
ио-Еп^У № 1
и носящих название квазистационарных уровней.
U (г]
п.-------------------------
г,
Рис. 26.
Как нетрудно заметить, значения Еп представляют истинные уровни
дискретного спектра задачи с потенциалом, изображенным на рис. 26 (г2 ->
со).
140
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Итак, значениям энергии, лежащим в узкой полосе вблизи квазиуровней,
соответствуют исчезающе малые в области III волновые функции (рис. 25,
б).
Для частицы, энергия которой строго определена, вероятность нахождения в
области I равна нулю. В самом деле, волновая функция частицы с
определенной энергией относится к непрерывному спектру и интеграл по
области III от ]ф(г, Е) |2 расходится, в то время как интеграл по области
I конечен. Это утверждение справедливо и для состояния вблизи
квазиуровня. Поэтому в задаче о вероятности выхода частицы из области I
надо рассмотреть состояние, представляющее суперпозицию ряда стационарных
состояний близких энергий, т. е. "волновой пакет", локализованный в
области I, и исследовать его "расплывание" с течением времени. В качестве
волновой функции при t - 0 возьмем функцию у0, которая практически
обращается в нуль в области III, а в областях I и II совпадает с волновой
функцией квазистационарного уровня.
Произведем разложение у_0(г) по стационарным волновым функциям:
СО
Хо (О = f ?(Е)ул (г) dE. (3)
о
Функции '?е(г) будем считать нормированными по шкале энергии. Состояние
частицы в момент времени t
г - Д t
/о (г> 0 = J <?(Е)ХЕ(г)е я dE.
Рассмотрим вероятность того, что частица через время t будет находиться в
начальном состоянии у0(г)
СО СО ?
