Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
перемножить три матрицы. Вычисляя, получаем:
е* (Ф + ?) cos2- -^^''PsinfJ -- tF).si n2 -
2/2 2
-4= sin 0
Y 2
cos (J
-- sin b
Y 2
- ei (+-?)sir.2- --=e~i'fsinb №+?)cos2-
2/2 2
(2)
120
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Заметим, что тот же самый результат можно получить, рассматривая
преобразование симметрического спинора второго ранга. Между компонентами
спиновой функции и компонентами симметрического спинора существует связь
Ф11=Ф1. = 'т'22 == 4-1- (3)
Спинор 2-го ранга преобразуется как произведение двух спиноров первого
ранга, т. е.
<|/и = а2фи 2сфф12 -|- py2, d/12 = ау^11 -)- (а8 -)- Ру) <Ь12 -)-
(38'li22,
</22 = т2^и _(_ 2т8^12 -f 82i22.
Или, заменяя компоненты спинора через компоненты спиновой функции
согласно (3), получаем:
'К = а^1 + V2^0 + Р'
4о = + (aS + Рт) 'К> + УЪЩ-v
^-1 = T^i + V^T^o + ^-i-
Подставляя в написанные соотношения значения коэффициентов
^-(<р+Ф) 0 г, . . 0
а = ег cos 2-, р == i siny • е1 ,
. . 6 -¦5"(?-Ф) а -5" С'Р+Ф) 0
y = is\n-^-e 2 , 8 = е 2 cos у,
получим выражение (2).
17. Чтобы найти искомую вероятность, воспользуемся формальным приемом,
который заключается в том, что вместо частицы с моментом j можно
рассматривать систему, состоящую из 2j частиц со спином 1/2. Поскольку по
условиям задачи проекция момента частицы равна у, то в эквивалентной
системе из 2] частиц все. частицы имеют проекцию спина на ось z, равную
+V2- Вероятность проекции спина -)-V2 (или -7г) на ось z' каждой такой
частицы
равна cos2 у ^или sin2-|-j (см. задачу 9 § 4). Для того чтобы
значение проекции полного момента этих частиц на ось z'
§ 4]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
121
было равно т, необходимо, чтобы j-\-m частиц имели проекции на ось z
а остальные/ - т частиц -1/2.
/ 0 V7 + т
Искомую вероятность w(jri) получим, умножая f cos2J X / 0 \i~т
Xlsin2-^-) на число всех способов разбиения 2j частиц
т
на две такие группы, т. е. на
т
. Итак,
w(m):
U + тУ- U - (tm))\
\J +т , н \i- т
(У + тУ- (у
+ 3
Легко убедиться, что
-з
18. Состояние системы с моментом J будем описывать симметрическим
спинором ранга 2J. Для решения поставлен-
и j+м и ¦ u, J-Mr--н
iniiiiniiiiti 11111111111111. 1H11111\222IZZ2 i ! 2222}\22ZZZ22
zzzz 11111!
U J+M-V Ч-е J-M -1 -
Рис. 23.
ной задачи нам нужно установить связь между компонентами J+M J-M J+M'
J- М'
^ТГ. .71 22. ,1/ГГ... 1 22... 2_
Из рассмотрения рис. 23 легко установить, что
J+M' J-M'
ф^и Г-l = У+М')Щ-М'у х
v = 0
(2/)!
(f)V ($)М'~Ш+ v (a)J+M~ v (5)^-M -v •v! (M' - M + >)! (J+ M--v)! (J- M' -
-у)! ~
J+M j-M ^11 ... 1 22 ... 2
где a, p, -f, 8- параметры Кейли - Клейна.
122
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как
J + M J-M
^№rM)l ИМ)
(2 У)!
J + Ш' J-M'
J + Ш' J-M'
И й(Ж)=1 по условию, то
<У (Ж') = V{J+ М'У- (J- му. (У + Ж)! (У- Ж)! X
у (f)v (?)"'-"+ v (a)J ¦ ''
А Zj. ¦-! (ЛГ - М + V)! (У + м - V)! (/ - М' - ^)! -
v=0
Откуда следует, что
Под знаком суммы единицу, деленную на факториал от отрицательного числа,
следует везде полагать равной нулю, т. е., иными словами, суммирование по
v следует производить по тем значениям, которые удовлетворяют
неравенствам
20. Найдем сперва собственные функции оператора jz. С этой целью запишем
оператор у, в матричной форме
Я (Ж, Ж') = (У-(- М')\(У- МУ (У+ Ж)! (У- Ж)! (cos X
v> Ж -Ж
ч<У+Ж,
v<y- М'.
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
123
ные функции и собственные значения jz, имеет вид
• д I 1 п
+ Y 0
п • д
О - (г-
д?
или
. , 1 . ,
- * а?-'г^т^-
Огкуда вытекает, что
i (т --^ '•? " " t (ш-r-U
' > '>2=/2(/'. **)е ' ,
где f1 и /2 - произвольные функции г, Л, т - полуцелое число.
Из всех возможных функций вида
\f2(r, П)е
мы должны отобрать те, которые являются одновременно собственными
функциями оператора Р. Такими собственными-функциями будут функции
Ц/ЯД/ОКь <?)\
\RAr)Y,,m+4,(*. ?))'
Последний этап конструирования будет заключаться в том, чтобы путем
выбора Rl и R2 сделать написанную функцию собственной функцией оператора
квадрата полного момента. С этой целью уравнение j2'b = j(j1)^ запишем в
матричной форме
..................R,(r) Yhm-u2(V, ?)N
i2 + 4 - I. ) V*2 (r) Yi, (Г1, cp)y J{J+ \Rz(r)YW!t{b, <p).
124 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Примем во внимание свойства шаровых функций
(4; "Ь Му) Ylm - "Vi!- + т 1) - т) Yl, т+\>
(1х~~~Му) Yim - V{1 - т-\- 1)(/+ т) Ylt т_1.
Тогда из написанного матричного соотношения следует, что и R2 должны
удовлетворять двум однородным уравнениям
[/(/+1)-УО'Ч-+ + (z+y)2-m2 я2=о,
V (l+i)2-m2RL+[l(l+l)-J(j + l)-m+i]x2=Q-
Из условия совместности этих уравнений следует, что j может быть равно
либо / -)-1/2, либо I -1/2. Полагая, что j = l-\-ll2> получаем:
RL = |/~/ -f - -)- т R (г), R2=~\/ri - m-\-~R(r). Таким образом,
ф(*.У = * + у m)=R(r)
(1 = 0, 1, аналогично при ._/ = /- V2 имеем:
у = /_1, OT^=^(r)
(/= 1, 2
Множитель ^ добавлен из соображения нормировки.
У
Y
;-ra + 2 21 + 1
I яг -g-2/-Ы
Yi,
к
1
2/+ 1
-ш+-2/+ 1
Yi,
Wl-Vs
ГМ + 1/2
§ 4]
21.
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
125
Проекция орб. м. т - 1/а Проекция спина Va Вероятность
