Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
получаем:
2Л,5/+5"Л = 0> (1)
S'2 - ^ [Е - U (/¦)] - . (2)
Из первого уравнения находим:
, const
/S'
Второе уравнение решаем приближенно, считая й2 малой величиной. При этом
надо, однако, иметь в виду, что при переходе к классической механике (й -
>0) следует считать, что Ы конечно, так как Ы представляет собою момент в
классической механике. Таким образом, в уравнении (2)
h2A"
малым можно считать лишь член -^ . При малых г (когда доминирующим в
правой стороне (2) становится ---
lh Y 1(1 + 1) . 1 / ,
имеем i --------------1--, А¦--у г, откуда находим прибли-
ТРА" №
женное выражение -^ дг - поэтому лучшее приближение для 5 получится, если
учесть этот член, подставив в (2) это приближенное равенство (при больших
г такая поправка несущественна). Таким образом, находим:
уЛ2|х [E - U (/¦)] - ПЧ-у2 ' dr, д _ const
V
fig (I + 1Lif
[E U (г)] . ^
3. Представим оператор Гамильтона в следующим виде:
г* ' 2;л/-2 дг\ дг)
Тогда минимальные значения энергии и соответствующие им собственные
волновые функции связаны соотношениями
§ 5] ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ 131
Последнее выражение представим в виде
= J <&-1 (Й0 + т^]\ <W+idx +
Сравним первый член в этом выражении с Efia. Поскольку 6г соответствует
минимальному собственному значению оператора н0то
^ f ,Ми , Й" /(/ + 1)1 , ^
> J |Яо4-2^ Ji } dz.
и Г#* (/+1) ,* ,
Что касается интеграла----------+^-йг+1ог hl "х, то он всегда
J (1
больше нуля. Следовательно, ?"<?(tm), т. е. вышеприведенное утверждение
доказано.
4. p1+p2 = P - - ih Ул; /! + /2=i = [/?/>]+ [/-р], причем /? =-
5. Потенциальная энергия U (г) = ~t>r~ •
Радиальная часть волновой функции удовлетворяет уравнению
+ |"_о.
Подставляя сюда у = Rr и вводя обозначения
k_YM_ h
имеем:
т = '-
7." + (й2 - >-2^2 -/J^-} Z = О- (1)
Учитывая асимптотическое поведение у при г^-О и при г-^со, решение для у
ищем в виде
132 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (2) в (1), получаем уравнение, определяющее функцию и (г):
U" + 2 _ Хл) и' - (2). (I + з/2) ___ *2} и = о. (3)
Посредством введения новой независимой переменной ? = Хл2 уравнение (3)
сводится к дифференциальному уравнению следующего типа:
1%+ Щ + 3/2) - ?} %¦+ {| (/ ¦+ 3/2)*} и = °,
где
- kl - JL
S ~ 2к - йш '
Решение этого уравнения есть вырожденная гипергеометр ическая функция
и = р{т(1 + ъ~ s)' 1 + *}•
Требование убывания R при г -> оо дает:
+ J - s)= - "г- (я, = 0, 1, 2, ...)
и, следовательно, уровни энергии равны Еп1 - f-2/гг-(-s/2),
а волновые функции
_i а
\im = rle 'гГ F{-nr, / f-3/2, Xr2} ср).
6. Волновые функции
(*> J'> г) = ?", (*) ОО ?П3 (2),
где
) Т3
^ 1 1 Л d \" -т-
Соответствующие им уровни энергии
р
: йю^ -\-пг ~\~пз + (см. задачу 5 § 1).
§ 5] ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ 133
Связь между и для /?,. = О, I - 1 имеет вид
Y2
't'oio = фоо1>
Y 2"
'т'ои - TTvr (фюо "Г гфою)>
^01, -1 = т?^(ф100-гфою)-
где
8. Для Не*
где
- (п 1) (и -f- 2), п = 2пгА-1.
4 f-У
r"=V R-r°-
П r\ ^ (r)
Для 08
'w=fTFS?(1 + T)'
= 3,73r0.
9. Уравнение для радиальной функции имеет вид
-1W ('" f) + 2f+1° <г>Б!я = "¦
МрМп м
где [j.- приведенная масса, ^ ^ ~2~' поскольку
Мр^Мп = М. р
*/ {г}
Полагая / = 0 и находим
dr% 1 ц Произведя замену переменных
Й + ?(е + аГ")* = о.
134
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
получим:
<Р-у . 1 dy . / "
-d? + TTi+(c"~p)* = 0'
где
с2 = |^Ла2; k*= - ^Ea*>0.
Общее решение этого уравнения
X - В Ж (с^) Ч- B2J_k (с!0-
При г-у со (? = 0) волновая функция стационарного состояния должна
обращаться в нуль, так что В2 = 0, и, следовательно,
я = уЧ(се"?).
Чтобы R было конечным при г - 0, должно быть
Уй(с) = 0.
Это уравнение дает связь между а и А. При этом для получения величин а и
А, относящихся к основному состоянию, надо, чтобы с было первым корнем
бесселевой функции (радиальная волновая функция не должна иметь узлов).
а • 1013 k с А Мэе
1 0,45 3,1 100
2 0,91 3,7 36
4,4 2,02 5,1 14
10. Среднее значение энергии Е в состоянии, описываемом волновой
функцией ф (г), дается следующим выраже-
нием:
?• = - f (V6)2rfx+
Согласно вариационному принципу, величина Е принимает значение энергии
основного состояния, если ф- точная функция основного состояния. Если же
в качестве ф взять определенные функции, зависящие от одного или
нескольких
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
135
параметров а, ,3, ..., то энергия Е будет функцией этих параметров Е (я,
3, . . .) и наилучшее приближение к энергии и ^-функции основного
состояния будет достигнуто для значений а = я0, j3 = [30, ...,
удовлетворяющих условиям
.__п* (дЕ{*,%...)\
________>\ =0- (дЕ(а' _О
La, U' I ^
З'Э.! p = fj,
При этом величина Е (я0, |30, . . .) всегда превышает энергию основного
состояния и тем ближе к ней, чем шире и целесообразнее выбран класс
допустимых функций.
1 -
В нашем случае R (г), где R (г) = се 2а . Из усло-
9
вия нормировки следует сг = , так что
СО СО
1-2 Г / \'2 - - С - - - -
Е(а) = с2~ j J е а г2 dr - с2А | е а ar2dr =
о о
1)2 ( * Y л ( * Y
2^\2 а) \а + 1/
Находим минимум Е (я):
