Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в атоме водорода может находиться и в состояниях с I ^ 0.
Обращаем внимание читателя на то, что в общепринятых обозначениях 1 и I
описывают одну и ту же физическую величину - угловой момент, но 1 имеет
размерность углового момента, т. е. ту же размерность, что и h [эрг-с], а
I - безразмерная величина (простое число).
2Буквы s, р, d и /, применяющиеся для обозначения состояний электронов с
I = = 0, 1, 2, 3, являются первыми буквами слов sharp, principal,
diffuse, fundamental, которые используются в атомной спектроскопии для
названия серий в оптических спектрах щелочных атомов.
§20. Классификация состояний электронов
111
Тогда нужно искать решение уравнения Шредингера, зависящее от г, д и (р.
Это решение может быть найдено в виде произведения функции R, зависящей
только от г, и функции Y, зависящей только от Ь и ср, так
ЧТ0 ф(г, ср) = R(r)Y(i(/?).
Радиальная волновая функция Д(г) квантуется так же, как ^-функция 5-
состояний (§ 12). Ее последовательные значения нумеруются "радиальным"
квантовым числом пг. Вид функции Y зависит от орбитальных квантовых чисел
I и ггц. Вычисление показывает, что в чисто ку-лоновском поле энергия
электрона зависит только от квантового числа п, равного сумме пг и I, и
не зависит от каждого из этих чисел в отдельности1. Поэтому решение
задачи об атоме водорода в самом общем случае приводит к уже известной
нам формуле (4.18) для энергий уровней:
Еп = -RiZ2\.
(5.12)
Здесь п = пг + 1. (5.13)
Квантовое число п, определяющее энергию атома водорода, называется
главным квантовым числом. Так как орбитальное квантовое число I может
принимать любые значения, начиная от нуля, а "радиальное" квантовое число
пг - любые значения от единицы, то главное квантовое число п, являющееся
суммой чисел пг и I, может принимать любые значения, также начиная от
единицы:
п = 1, 2, 3,... (5.14)
Для сферически-симметричных решений (I = 0), которые мы получили в
предыдущей главе, пг = п и формулы (4.18) и (5.12) совпадают. Из (5.13)
видно, что при любом значении п > 1 возможны не только 5-состояния (т. е.
состояния с I = 0), но и состояния со всеми значениями I в интервале 0 <
I < п - 1 - всего п различных состояний. Для всех этих состояний энергия
оказывается одной и той же и выражается (5.12).
Если мы учтем теперь, что при каждом данном значении I электрон может
находиться в 21 + 1 состояниях с различными значениями mu то окажется,
что число состояний с разными I и mi на уровне равно
п-1
5^(21 + 1) - п2-1=0
Иногда "радиальным" квантовым числом называют число п'г, связанное с
введенным здесь пг следующим соотношением: n'r = пг - 1. Вид (5.12) при
этом сохраняется, а п = - tlL -|- Z -|- 1.
112
Глава 5
Таблица 2. Квантовые числа и кратность вырождения уровней
водородоподобных атомов по орбитальному угловому моменту
п пг 1 т Состояние Кратность вырождения2
1 1 0 0 Is 1
2 2 0 0 2s п .А
2 1 1 0,±1 2р 3J
3 3 0 0 3s п
3 2 1 0,±1 3 р 3 Г
3 1 2 0,±1, ±2 М 5J [
4 4 0 0 4s 1'
4 3 1 0,±1 4р 3 >16
4 2 2 0,±1, ±2 М 5
4 1 3 0,±1, ±2, ±3 4/ 7,
1 Из-за наличия спина полное вырождение уровней в два раза больше.
Дополнительное увеличение числа совпадающих (как мы увидим далее,
приблизительно совпадающих) по энергии уровней связано с наличием у
электрона собственного вращения (спина). Число состояний, расположенных
на каждом уровне, оказывается поэтому в два раза больше:
-^сост = 2?! . (5.15)
Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 24 и далее.
Если уровню энергии соответствует больше чем одно состояние, говорят, что
он вырожден. Число состояний с одинаковой энергией называется кратностью
вырождения. В атоме водорода и в водородоподобных атомах невырожденным (с
учетом спина - двукратно вырожденным) является только уровень с п = 1, т.
е. уровень, определяющий основное состояние атома. Уровень с п = 2
оказывается четырехкратно (восьмикратно) вырожденным и т.д. (табл. 2).
§ 21. Правила сложения угловых моментов
Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц, имеющих орбитальные моменты
li и I2, и найдем возможные значения суммарного углового момента L этой
системы. Угловые моменты - векторные величины, и складываться они должны
по правилам сложения векторов. Абсолютное значение суммарного момента L
зависит от взаимной ориентации составляющих моментов li и I2. В квантовой
механике векторный
§21. Правила сложения угловых моментов
ИЗ
характер моментов сохраняется, но при обсуждении правил сложения следует
помнить, что как сам момент L, так и его проекция Lz квантуются по уже
известным правилам:
Здесь L = 0, 1, 2,... (орбитальное квантовое число системы); ть = = 0,
±1, ±2,, ..., ±1/ (магнитное квантовое число, определяющее проекцию
момента L на ось z). Квантовый характер угловых моментов (и их
"размазанность", связанная с принципом неопределенности) лишает угловой
момент простой классической наглядности и заставляет внимательно
исследовать правила сложения моментов.
Здесь следует отметить, что само понятие "вектор" к угловому моменту
