Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим произвольную точку внутри системы объема V. Обозначая через х совокупность независимых переменных, характеризующих состояние системы в этой точке, запишем 70
- ГЛАВА 8
локальное изменение состояния *)
X = у (t, t0, X0), (6.1)
где X0 обозначает состояние в момент времени t0. Здесь предполагается, что ф — функция, непрерывно дифференцируемая по t (t *о). Кроме того, предположим, что (6.1) остается справедливым в окрестности х0, определяемой некоторым отклонением б. Величина
у (0 = Ф (h + O) — Ф (t, х0) (6.2)
характеризует изменение функции ф, вызванное первоначальным возмущением б в момент времени t. Из непрерывности ф следует, что Iу(t) I мало, если мало |б| и не слишком велико t. Здесь I у (^)( означает расстояние V(Iyf) в пространстве состояний.
Это приводит к следующему определению устойчивости движения (6.1): если для любого є>0 существует k(e)>0, такое, что
|ф(/; *„ + 6)-<p(f; *о)1<в (6.3)
при всех значениях t, как только |б| <k(e), то говорят, что движение (6.1) устойчиво по Ляпунову (подробнее об устойчивости по Ляпунову см. работу [134]).
Кроме того, устойчивость будет асимптотической (или полной), если для всех допустимых б
Iitn I ф (i- X0 + б) - ф (t- X0) I = о. (6.4)
f-+oo
В этом случае возмущенное движение стремится вернуться к первоначальному при t —* оо. Поэтому если положительно определенная сумма у2 (квадрат расстояния) не возрастает, другими словами, ее производная по времени удовлетворяет условию
(у2)< 0 (<0) (6.5)
при всех значениях t, то движение (6.1) будет устойчивым (=^0) или асимптотически устойчивым (<0). Однако в обоих случаях (6.5) является только достаточным условием, так как осциллирующие возмущения у2, совместимые с основным определением устойчивости, здесь не рассматриваются.
Аналогично, используя вместо у2 другие положительно (или отрицательно) определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами, можно получить различные достаточные условия устойчивости. Знакоопределенная функция типа у2, которая приводит к условию устойчивости (6.5), называется «функцией Ляпунова».
*) Функция ф в уравнении (6.1) допускает существование циклов и пересечений в пространстве состояний. УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ 71
6.3. Устойчивость диссипативных систем
Метод баланса энтропии (гл. 5) нельзя без модификаций применить к проблеме устойчивости неравновесных состояний (ни стационарных, ни зависящих от времени). Действительно, при произвольном отклонении от термодинамического равновесия мы уже не можем разделить уравнение баланса энтропии (5.1) на два: (5.7) и (5.8), так как производство энтропии больше не является величиной второго порядка малости. Поэтому неравенство (5.12), из которого мы исходили при построении теории устойчивости равновесного состояния, в данном случае не выполняется.
Однако мы все еще можем использовать фундаментальное предположение о локальном равновесии. Кроме того, всегда будем предполагать, что состояние локального равновесия устойчиво. Согласно (5.17) или (5.18), это означает, что
62s < 0 или б2 (ps) < 0. (6.6)
Кроме того, из (2.58) и (2.62) следует, что эти величины являются отрицательно определенными формами приращений независимых переменных е, V, Ny и ре, рг соответственно, которые характеризуют локальное состояние диссипативной системы (т. е. системы без конвекции). Поэтому теорию устойчивости следует строить на основе функций 62S или 82(ps) как функций Ляпунова в том смысле, как они были определены в предыдущем разделе.
Таким образом, мы получим условия устойчивости
(<&),. >0; [62(ps)k>0. (6.7)
для всех времен (i ^t0). Индекс t0 означает, что при дифференцировании по времени коэффициенты квадратичных форм (6.6) остаются постоянными, т. е. теми же, что и в момент времени t0. Этот индекс, как и условие асимптотической устойчивости в (6.5), будет подразумеваться во всех последующих формулах.
Сравним более подробно условия (6.7) с альтернативным определением устойчивости, основанным на неравенстве (6.5) и обобщении классического принципа Ле Шателье — Брауна в равновесной термодинамике.
6.4. Теоремы демпфирования и принцип
Jle Шателье — Брауна
Применяя неравенство (6.5) к случаю асимптотической устойчивости В переменных Є, V, Ny, получим
бе (бе) + би (бі)) + 6Ny (бNy) < 0. (6.8)
Вблизи равновесия имеем
(бе) = ё, (bv) = v, (My) = Ny, (6.9) 72
- ГЛАВА 8
поэтому из (6.8) следуют неравенства
ё be < 0 (V, Ny = const);
V bv < 0 (е, Nу = const); (6.10)
Ny bNy <0 (е, V = const).
В равновесной термодинамике такие неравенства хорошо известны; они соответствуют так называемому принципу Ле Шателье — Брауна. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: «В любой системе, находящейся в химическом равновесии, при изменении одного из факторов, управляющих этим равновесием, возникают компенсирующие процессы, стремящиеся ослабить действие указанного изменения».
Этот принцип утверждает, что изменение переменных, характеризующих равновесное состояние, демпфируется (или затухает). По этой причине неравенства типа (6.10) также называются теоремами демпфирования [143]. Следует помнить, что неравенства (6.8) или (6.10) относятся к интенсивным переменным. Для экстенсивных же переменных принцип Ле Шателье — Брауна не всегда справедлив даже при равновесии. Этот вопрос изучается, например, в книге [143].
