Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно отметить, что в окрестности термодинамического равновесия получающийся критерий устойчивости удовлетворяется тождественно. Как и следовало ожидать, устойчивость термодинамического равновесия обеспечивает устойчивость и вблизи равновесия. По этой причине все нетривиальные задачи по устойчивости нельзя исследовать методами линейной термодинамики необратимых процессов. Возможность появления новых типов организации материи за точкой неустойчивости под влиянием неравновесных условий возникает только тогда, когда система находится достаточно далеко от равновесия. Изучение такой новой организации, так называемой диссипативной структуры, возникающей благодаря обмену-энергией и веществом с окружающей средой, представляет одну из наиболее привлекательных задач макроскопической физики (ср. гл. 11 и 14).
С другой стороны, указанный метод дает еще и условие устойчивости на границе. Как показано в разд. 7.10, это условие также применимо к равновесным состояниям, поэтому теория устойчиво- УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 81
сти равновесных состояний больше не ограничивается условием (5.11) и допускает рассмотрение других типов граничных условий [например, (7.20)]. Кроме этого, мы имеем теперь условия устойчивости равновесных состояний по отношению к возникновению конвекции.
В дальнейшем мы будем рассматривать два случая. Первый, когда Р[б5] (или P[bZ\) является знакоопределенной квадратичной формой, указывающей, устойчиво ли рассматриваемое состояние (например, устойчивость состояния вблизи равновесия, разд. 7.8); и второй, более интересный случай, когда знак квадратичной формы P [65] (или P[bZ\) не определен (см. гл. И, 14 и 15). Для определения границы устойчивости, соответствующей возникновению первой критической моды, будет использовано неравенство (6.37).
7.2. Термическая устойчивость
Рассмотрим устойчивость процесса теплопроводности в твердом теле, когда единственной переменной величиной является температура. Из соотношения (6.15) сразу следует, что
±-dtb2s = bT~1dtbe, (7.1)
а из уравнения баланса (1.44) получаем *)
Vdtbe = -WiIr (7.2)
Это очень простой пример «уравнения баланса для приращений». Подставим (7.2) в (7.1):
1 P^fi2S = -ЬТ~] IbWflj ^bWibT'i1-[bWjbT'1].,. (7.3)
Рассмотрим следующие граничные условия на поверхности твердого тела Q:
(ЬТ~%=0 или W,]Q = 0. (7.4)
(Чаще всего на границах задаются или температура, или тепловой поток.) Для нашего случая критерий устойчивости (6.12) имеет вид
Y J рдtb2s dV = J bWf ЬТ-/1 dV > 0. (7.5)
*) Отметим, что символы б и дх так же, как б и df, можно переставлять. Действительно, символ б, используемый здесь, означает локальное изменение и, следовательно, может рассматриваться как частная производная по некоторому произвольному параметру т. Перестановочность означает просто, что =
ИДН d\%=d\t. 82
- ГЛАВА 8
Отсюда следует, что фундаментальной величиной, определяющей устойчивость, является производство избыточной энтропии
P [oS] ^ J bWjbT',1 dV. (7.6)
Эта величина должна быть положительной для всех малых возмущений. Не следует путать производство избыточной энтропии P [oS] с приращением 8Р [S] производства энтропии
P[S]= J WiTjdV >0. (7.7)
Производство избыточной энтропии (7.6) — величина второго порядка малости по отклонению от рассматриваемого состояния, тогда как изменение 8Р [S] может содержать члены как первого, так и второго порядка, и не имеет простой связи с проблемой устойчивости, за исключением строго линейного случая, когда справедлива теорема о минимуме производства энтропии (разд. 7.9),
Следует отметить, что знак производства избыточной энтропии (7.6) не определяется раз и навсегда вторым началом термодинамики, и поэтому его придется искать, исходя из феноменологических законов.
Простейший случай соответствует линейному закону (3.10) с постоянными феноменологическими коэффициентами (Lij = L0ij), тогда
J J p^o2s dV = J L0U ЬТ'і1 6Tj dV. (7.8)
Мы видим, что условие устойчивости удовлетворяется тождественно, так как величина в правой части точно совпадает с выражением для производства энтропии (3.8). Это частный случай очень общего результата, который будет получен в разд. 7.8. В области применимости линейной термодинамики необратимых процессов условия устойчивости всегда выполняются.
Рассмотрим теперь случаи, когда La непостоянны. Предположим сначала, что эти коэффициенты можно свести к константам путем подходящего выбора обобщенных сил и положительной весовой функции є2 (разд. 3.2 и 3.4), Вместо соотношения (7.3) получим
і Pe2d*o2s = bW, [е2 of_1]7 - [є2 bW, аг-1],,, (7.9)
которое совместно с граничными условиями (7.4) приводит к условию устойчивости
Y J Pe2d,b2sdV=f bW,[e2br- 1J^dV > 0. (7.10)
В качестве примера рассмотрим закон Фурье в виде [ср. с (3.14)]
Wi = -K0I1T4, (7.11) УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 83
где коэффициент теплопроводности К°ц не зависит от температуры. Имеем
Lif = -K0uT2. (7.12)
Пусть весовая функция
