Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
om (pz) =Y {бГ"! б (ре)* + 6Г-1* б (ре) -
- - SI5Kr"1 -тrO-V2)ч + б-1 г-vy 6pYj -
Y
- Г-' [ftV| б (pv;)* + ov; б (р0<)]} < 0. (6.33)
Применяя ту же процедуру к временной производной (6.28), получим сразу
^(рг) = 20)гб^(рг). (6.34)
Очень важно, что выражение (6.34) содержит только действительную часть частоты сог- Это, конечно, является прямым следствием 78
- ГЛАВА 8
определения 6% (pz) или 6IiZ*). Очевидно, что наши условия устойчивости (6.20) и (6.21) так же, как и (6.25) и (6.26) или интегральные выражения (6.30) — (6.31), переписанные с помощью оператора Ь2т, дают для каждой нормальной моды
Wr <0. (6.35)
В линейной теории устойчивости вообще предполагается, что самое общее возмущение можно разложить по полному набору нормальных мод [28].
Наоборот, если допустить, что cor ^ 0 и 62(pz)<C0 (отсюда следует, как подчеркивалось в разд. 2.6, что o2m (pz) < 0), то из соотношения (6.34) видно, что
o,ftm(pz)>0 (>0) (6.3Є)
для каждой нормальной моды. Следовательно, неравенство (6.36) или соответствующая ему интегральная форма
<3<62mZ>0 (>0) (6.37)
становится необходимым и достаточным условием устойчивости.
В случае произвольного возмущения, образованного суперпозицией двух или более нормальных мод, правая часть (6.34) будет зависеть также от мнимых частей со{ соответствующих частот. Их знак может быть тогда или положительным, или отрицательным даже для устойчивых систем. Однако на больших временах, t-*-oо, убывающие члены ехр {—|сог|0 становятся определяющими и (3/6m (pz) стремятся к положительным значениям. Теперь видно, почему наше основное условие устойчивости (6.31) или (6.37) является слишком строгим требованием в общем случае произвольного малого возмущения и дает нам только достаточное условие устойчивости**).
В связи с этим необходимо отметить, что даже для отдельной комплексной нормальной моды и ее комплексно-сопряженной знак
dt№]r
также зависит от соь Это можно доказать, применяя выражение (2.71) к каждому приращению, входящему в правую часть неравенства (6.28). Таким образом, свойство, выражаемое соотноше«
*) Для рассматриваемых состояний требование, чтобы временнйе производные вычислялись при постоянных коэффициентах, удовлетворяется тождественно.
**) Менее жесткое необходимое и достаточное условие означало бы, что через достаточно большой промежуток времени Ы соответствующее приращение Ab2mZ становится положительным. Такая возможность в этой книге не рассмат* ривается, УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ 79
нием (6.34), является типичным для смешанного второго дифференциала, определенного в гл. 2. Итак, система неравенств
o2Z < 0, Ofi2Z >0 (*>*о) (6.38)
дает нам достаточное условие устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0). Аналогично система неравенств
VnZ< 0 dfilZ^O (f>f„) (6.39)
является необходимым и достаточным условием устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0) для каждой нормальной моды в отдельности вместе с ее комплексно-сопряженной. Во всех случаях в квадратичной форме o2(pz) временная производная вычисляется При ПОСТОЯННЫХ коэффициентах Cv, X, ^yy,,
P, TO1.
И, наконец, если во втором соотношении (6.38) знак равенства справедлив для всех t и, кроме того, выполняется первое соотношение, то б«Z становится константой. Возмущенное движение в этом случае отвечает состоянию на границе устойчивости.
6.9. Раздельные термодинамическое и гидродинамическое условия устойчивости
Различные выражения условий устойчивости (6.38) и (6.39) можно получить, вводя подходящую весовую функцию в основную квадратичную форму (6.25). Можно, например, исходить из функции Ляпунова
62 (pg) = е2б2 (ps) - J T-'T262(pv2) < 0. (6.40)
Здесь є2 и т2 означают положительные гладкие функции (для всех значений Xi и t в объеме V) переменных рассматриваемого состояния (бе2 = 6т2 = 0), которые имеют одну и ту же физическую размерность. Поэтому величина
Z = B2S-X2To1^- (6.41)
является простым обобщением (6.17). В остальном є2 и т2 — произвольные величины, которые могут быть выбраны независимо. В результате критерий устойчивости (6.38) приобретает вид системы двух отдельных условий:
J е2б2 (ps) dV <0, dt J є2б2 (ps) dV > 0 (> 0) (t > % (6.42)
J t2To' j 6" (pv2) dV >0, dt J X2To11 o' (pv2) dV < 0 « 0) (6.43)
(Wo)- 80
- ГЛАВА 8
Необходимо подчеркнуть, что только система условий (6.42) и (6.43) в целом дает критерий устойчивости, так как в общем случае подынтегральные выражения, рассматриваемые отдельно, являются вырожденными знакоопределенными квадратичными формами (разд. 6.7).
Условия (6.42) и (6.43) называют термодинамическим и гидродинамическим условиями устойчивости соответственно (см. например, гл. 11).
ГЛАВА
--- 7 -
КОНКРЕТИЗАЦИЯ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
7.1. Введение
Конкретизируем критерий устойчивости, установленный выше. Начнем с изучения уравнения баланса для 82S и 82Z. Чтобы получить уравнение баланса энтропии S, воспользуемся методом, аналогичным методу в гл. 2. Как и в гл. 2, надо исходить из уравнений баланса массы, импульса и энергии, но так как здесь речь идет о возмущениях, то соответствующие уравнения баланса превращаются в уравнения баланса для приращений; они описывают поведение возмущений массы, импульса и энергии. Поэтому вместо производства энтропии имеем производство избыточной энтропии (или обобщенное производство избыточной энтропии при наличии конвективных эффектов). Для начала рассмотрим несколько простых случаев.
