Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
' i •= I
m ®2 n
->z SZ тг^лжumtidwjit).
i-1 Si /— i /
f(Z Z lx~dx~ttk, ?l(4)> • • •, L(^ft))X
L4-0 (,/¦=! ‘ '
ft-0 /=1
Далее,
^г-1 /г
м1'
X | ?a< Af* + Z b‘r bwr (tt
}) Ssi j
2M [(z Z ork: Si &), (4)) a? дй) | &,] +
+ 2M[(Z Z ~дГ57 ttb’tAh), ..., S„foO)X
L\b=n / f=l 1 I
Ы
4&=0 г, /=1
[m m
bifbjq bWr (tk) &Wq (tfc) birbjr btk
Гу q=l r = \
Пусть max max
d2u
t, i, / I *V*/
сумма в правой части последнего неравенства оценивается величиной
2 (nL X af) ( Ё < 2 f/iL Z af) (s2 — si)2 (тах д4)2 О \ i*=l / \ 6=0 / \ i**l / к
468
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
при maxA//;->0. Для оценки второй суммы заметим, что слагаемые ее при разных к некоррелированы. Поэтому она оценивается величиной
при max А/й->-0. (Заметим, что ah и являются ^-измеримыми, так как они совпадают с aft(s.) и bi,(s 1) соответственно.)
Таким образом, формула (21) установлена для финитных по х u(t,xu хп) и постоянных flj, bij. Значит, формула (21) справедлива и для ступенчатых функций. Запишем ее в проинтегрированном виде:
В этой формуле можем перейти к пределу по ад(/) и bhj(t) от ступенчатых функций к произвольным, а затем от финитных хп) к любым функциям, удовлетворяющим условиям XIII, используя при этом свойство IV.
2М
' т т Т \2
X ? birbjq Awr (4) Awq (4) — ]Г ь»ь1г A4 J
I — 1 n / г tn
<S2?»v?m ? birbjq AWr (4) AWq (4)
i, / = 1 ' Lr, q — 1
I—1 n / m m
u(s2, . ... ?«(s2)) — «(«1. Sl(Sl), • ••, inis i)) =
n m
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ
469
§ 2. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
решение которого, как естественно предположить, будет диффузионным процессом с коэффициентом диффузии o2(t,x) и коэффициентом переноса a(t,x). Предположим, что a(t,x) и a(t,x) — борелевские функции, определенные при х е t е [t0, 7].
Уравнение (1) эквивалентно следующему уравнению:
и решается при условии, что l(to) задано. Для того чтобы интегралы в (2), а значит, и дифференциалы в (1) имели смысл, нужно ввести а-алгебры событий gft.
В дальнейшем величина ?(<0) будет всюду предполагаться независимой от процесса w(t)—w(t0), а под а-алгеброй fit будем понимать минимальную а-алгебру, относительно которой измеримы величины l(t0) и w(s)—w(t0) при t0 < s sc; t. Процесс l(t) будет считаться решением уравнения (2), если ?(/) Згиз-мерима, интегралы в (2) существуют и (2) имеет место при каждом t^[t0, Т] с вероятностью 1.
Заметим, что из свойства Ш предыдущего параграфа вытекает, что для стохастически эквивалентных процессов f\{s) и (s) совпадают с вероятностью 1 стохастические интегралы
так как fi($) =fz(s) с вероятностью 1 при каждом s и, значит,
Отсюда вытекает, что всякий процесс, стохастически эквивалентный решению уравнения (2), сам будет решением этого же уравнения. А так как правая часть (2) стохастически эквивалентна левой и с вероятностью 1 непрерывна, то для всякого решения (2) существует стохастически эквивалентное ему непрерывное решение. В дальнейшем рассматриваются только непрерывные решения уравнения (2).
Теорема 1. Пусть a(t,x) и o(t,x) — борелевские функции (t s (Yo, 7*], jef), удовлетворяющие при некотором К условиям:
dt (г) ==a(t,l (0) dt+a (t, % (0) dw (t),
(1)
t (t) = I (to) + ^ a (s’ ^ ^s)) ds+\°(s’l (s)) dw (s)> (2)
\jfl{s)dw{s), \)f2(s)dw{s),
470
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VII!
а) для всех х и уей1
I a(t, x) — a(t, у) | + | о it, х) — о it, у) |< /< | х — у |;
б) для всех х <= М1
| a(t, х) Р + | or(/, х) |2^^С2(1 + **)•
Тогда существует решение уравнения (2), и если hit) и h it) — два непрерывных решения {при фиксированном |(М), 70
Доказательство. Докажем сначала единственность непрерывного решения. Пусть hit) и ?2(/)— два непрерывных решения (2). Обозначим через %N(t) случайную величину, равную 1,если lli(s) | ^ N, |^2(s) | N при s ?= [/0, /], и равную 0 в противном случае.
Поскольку %Nit)%Nis) = XNit) при S < t, то
%n (t) tel (t) — ?2 (0] = %N(t) %N (s) [a is, h is)) — ais,l2 (s))] ds +
U («) 11 a is, h (s)) — a (s, g2 (s)) I + I or (5, (s)) — a is, g2 (s)) | ] <
