Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
образом, что ? (t) = ^ / (s) dw (s) является сепарабельным про-
а
цессом.
t
Отметим основные свойства функции ? (t) = ^ / (s) dw (s).
а
Ь
V. Если ^ М (| / (s) |21 Ща) ds < оо, то
\ М (I / (s) I21 З'й) ds (7)
)
^/(s)cMs) > с ^ М [ f(s) fds. (8)
а ) а
Достаточно доказать (7). Выберем разбиение отрезка [а, Ь]\
h
a — tQ<tx< ... <tn = b. Положим ?,k=^f (s) dw(s).
a
Так как при k <1
M (?, - ?* | &,)dw (s) | = 0
и измеримо относительно то последовательность является мартингалом, а значит, — субмартингалом. Поэтому в силу теоремы 5 § 1 гл. III
Таким образом, установлено неравенство
Р > sup ^ 0
Я I О
\f(s)dw(s) >с\%а <-^$M(|/(s)|2|ge)<fc,
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИГО
457
из которого легко получить доказательство свойства V, воспользовавшись сепарабельностью процесса ^ / (s) dw (s).
а
t
VI. Сепарабельный процесс ?,{t) = ^f (s) dw (s) непрерывен.
a
Доказательство. Если f(i) — ступенчатая функция, то непрерывность Z,(t) вытекает из непрерывности w(t) и формулы, определяющей ?(/) в этом случае. Пусть функция f(t) из Э12[а, 6] ъ
такова
, что jj М| f(s) \2 ds < оо, а /=„ (f) —
последовательность
ступенчатых функций, для которой
lim [ M | / (s) — /„ (s) p ds — 0.
oo J a
Ввиду свойства V
t t
^f(s) dw (s) — ^/„(s) dw (s)
% a )
Ml f(s) — fn(s) I2 ds.
a
Выбирая последовательности е*.->0 и nk так, чтобы
ь
k=i ^ убеждаемся, что
оо ft t Ч
? Р 1 sup ^ / is) dw (s) — fnk (s) dw (s) > Bk |
< OO ,
и, значит, на основании леммы Бореля—¦ Кантелли с вероятностью 1, начиная с некоторого номера k, t t
sup
J / (s) dw (s) — J fnk (s) dw (s)
Таким образом, ^f(s)dw{s) с вероятностью 1 является рав-
а
нохмерньш пределом непрерывных функций, поэтому этот предел также будет непрерывным. Пусть, наконец, f(t) —
ь
458 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
произвольная функция из 2Л2[а, Ь]. Положим fN(s) — f(s), если ^ | / (и) \ du < N, и fN(s)=*0, если ^ | / (г;) |2 du > /V. Тогда
а а
р( sup \f (s)dw{s) — \ fN(s)dw(s) >ol
I a <<<& J J 1
4 a a *
<p{ \\f(s)\
Так как ^ f jv (s) dw (s) непрерывен и вероятность, стоящая
а
в правой части последнего соотношения, может быть сделана сколь угодно малой, то процесс ^f(s)dw(s) непрерывен в об-
a
щем случае.
Нам будет нужна следующая оценка четвертого момента от стохастического интеграла:
VII. Если f [t) из !$i2[a, Ь] такова, что ^ М]/(014Л<°°, то
а
\4 Ь
<36(/7-a) J М|/(014Л. (9)
а ' а
Доказательство. Пусть сначала f(t) является ступенчатой функцией, для которой f(t) = f(ti) ПРИ U ^ t < 0+ь где а = t0 < ... < tT = b — некоторое разбиение отрезка [а, Ь]. Тогда
Ь \4 /Г-1 \4
М (^f(t) dw (t) )-Ш f(tk) M4 + i) —
г-1
= М YJ\f(tk)nw(tk^)-w(tk)Y +
k=0
Г-1 /k-\ \2
+6 Z M (Zf {ii) (^+i) ~ш {ii)])1 f {h) |2 [w {ik+i) ~w {tk)]2:
fc-1 N-0 '
r-1
= З^М|/(У14(^+1-4)2 +
+ 6Z M (Z f {td [W (ti+l) - w (/,)]) I f (tk) I2 (/*+, - ik).
k~\ >1щ0 '
СТОХАСТИЧЕСКИ!"! ИНТЕГРАЛ ИТО
459
так как математическое ожидание тех слагаемых, у которых приращение w(th+l) — w(tu) с наибольшим номером входит в нечетной степени, равно нулю, а при tn = 1, 2, ... имеем
