Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
?* (s) = 1 + jj а'х (“> It, х (“)) (U)du + t
s
+ ] а'х (“. h, X Щ ?* (“) dw (и). (3)
t
Из леммы 1 следует, что М | Ах (s) — ?,х (s) |2 -* 0 при Дя-*0, ¦ т. е. что
Заметим, что из соотношения (3) вытекает равенство lx (s) = ехр | 5 (< (“. к X («)) - т К (“> к X («))]2) du +
О |
+ $ (“>?/,« (и)) <Ми) [• (4)
t \
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИИ 485
Действительно, пусть процесс ?(s) таков, что ?(/)=1 и dt, (s) — a (s) I (s) ds -f- ct (s) ? (s) dw (s),
где a(s) и b (s) — ограниченные функции. Тогда в силу формулы Ито
d ^ (s) exp | — | [a (u) — or2 (ц)] du — ^ a (u) dw (u) j j =
= [di(s)] exp| — j [a (u) — j ct2 («)] du—^o (u) dw(u)| +
+ ?(s)exp | ^ [a («) — у a2 («)] du — J a(u) dw (и) | X
t t '
X [(— a (s) + J cr2 (s) + J a2 (s)) ds — a (s) d® (s)] —
— i (5) exp j — j [a (и) — ~ o2 («)] du — j ct (u) dw (u) | ct2 (s) ds = 0,
и, значит,
?(s)exp (-[ a (u) — -j ct2 («)] du — j ct (u) dw (u) j
Полагая s =/, находим, что с— 1. Тем самым формула (4) установлена. Для дальнейшего нам понадобится Лемма 2. Пусть |ф(«) | ^ N, и е [s, /j. Тогда
М ехр | ^ ф (и) dw (и) | < ехр | j N2 (s — t) j .
(5)
Доказательство. Если ф(«) — ступенчатая функция: ф(«) = = ф (th) при и е [th, 4+i], где / = /0 < ti С ... < tT = s, то (5) получаем, последовательно используя неравенство
М (ехр {ф (/*) [да {tk+j) — w (/ft)]} |gtft) =
= ехр {^ф2 (/ft) (/ft+i —/ft) } <ехр{ jyV(/ft+i —/ft) }.
В общем случае (5) получается предельным переходом. Ц Из леммы 2, ограниченности а'х, а'х и (4) вытекает, что для всех m > 0
м (?,(*))
тп
486
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
равномерно ограничено. Из формулы (4) легко находим, что существует в среднем квадратическом и
It. * (*) = -§? lx (s) = exp jj (4 (“• h x (“)) “
- у К (u, %tt x («))]2) du + Jo; (и, ^ x («)) dw (u) j X
x [ J K* («»6/, * (“)) ~ («.1*. x (“)) <x (w. s*. * (“))] ^ («) +
L t
а
+ S °xx (W> X (“)) ?* (“) («)
(6)
Из этой формулы вытекает и среднеквадратическая непрерыв-ность -jph.x(s)- Я
Для многомерных процессов имеет место
Теорема 2. Пусть lt,x(s) является решением уравнения
(14) §2, а функции a(t, х), bi(t,x), .... bm(t,x) определены и непрерывны при t е[^о, Т], х е М™ и обладают ограниченными непрерывными производными по всем переменным х1, ..., хт до второго порядка включительно. Тогда функция lt,x(s) дифференцируема дважды по х в среднем квадратическом, причем производные
7Т !/.*(*). -JTltt.x(s),
дх‘ дх'дх1
как функции х, будут непрерывны в смысле среднего квадратического.
Доказательство этой теоремы проводится в том же плане, что и доказательство теоремы 1, поэтому мы не будем приводить его.
Замечание 1. Если выполняются условия теоремы 2 и f(x) — ограниченная непрерывная функция, имеющая непрерывные и ограниченные производные до второго порядка включительно, то функция и(х)= Щ(h,x{s)) дважды непрерывно дифференцируема по х.
Проверим справедливость этого утверждения опять лишь в случае одномерных процессов. Покажем, что
»А*)=щ(кхтм (7)
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ 487
Действительно,
' / {h. х+Ах (*)) - } (h, X («))
MLд,, <
<2Ч^!=?#)Ь,а.(5)-^»]Г +
+2М - Г, (к. (.))]* В. WT - о
/ (х) — f (у)
ввиду ограниченности , сходимости
•* У
f х+Ах (5)) f (%t, х (s)) _ Г/ ? / Л
b,^+A*(s)-6i,,(s) [Л^,ХЩ
к нулю по вероятности и соотношений
Jjjn М|Сх,д*(5)-?,(5)|2==0» M|g,(s)|2< ОО.
Но
|«(?+^=«М_МГ,(Ь,,(,))?,(*)!<
< {1м [-г а (к <*» - / fe.„т - /; о,. х w) е, wj
Отсюда и вытекает (7). Аналогично устанавливается, что
с=м/ь а., <*>) е w+Mfi (I,,„ и) -§; ix w (8>
Непрерывность ы? и следует из непрерывности процессов ?*($) и в среднем квадратическом.
Замечание 2. Процессы
~^~^t,x(S)> Qx2 %>t, ж (S)
являются стохастически непрерывными функциями t при фикси* рованном s, t0 ^ s ^ Г, равномерно относительно х на каждом компакте.
Пусть t < t' < s; тогда
S
h, x (s) — Sr, * (s) = It, x (0 — x+\(a{u,b,x («)) —
t'
S
— a(u, h',x(u))) du+ ^ \o(u, lt,x(u)) — o{u, h'.x(u))]dw(u).
