Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
М ([ш (tk+1) - w \ & J = (2т - 1)!! (th+1 - tk)m.
Для любой ступенчатой функции /(/) мы можем считать, что
отрезки [th, ta+i] выбраны таким образом, что max[^+1 — tk\
k
сколь угодно мал. Поэтому из предыдущего соотношения получаем, переходя к пределу при шах [4+1 — tk}-+0,
f(s)dw{s)\f2(t)dt. (10)
a Na
Применяя неравенство Коши — Буняковского, можем записать
J M(if(s)dw{s)\ f2(t)dt<
а 'а '
т
о f \
^ М [ / (t) |4 dt ¦ jj М f ^ / (s) dw {s) J dt
¦a a \x / -
Из формулы (10) вытекает, что
t \4 i
М(,................у
a Na
возрастает с ( и, значит,
I f(u)dw (и) \ — 6 ^ М Г ^ / (s) dw (s)! 72 (и) du
'л * п 'л '
Ь / t \ 4 / Ъ \ 4
^ М ( ^ f (s) dw (s) j dt <1 [b — a) M ( ^ f (s) dw (s) J .
a 'a л
Таким образом
/ ь \4 Г b (b v4 -j l /2
Mn / (t) dw (t) j <6 (b — a) ^ MI f(s) |4 ds M f ^ / (s) dw (s) J
Отсюда вытекает формула (9) для ступенчатых функций f(t). Доказательство этой формулы в общем случае можно получить, построив для f(t) последовательность ступенчатых функций fn(t) так, чтобы
ь
Hm \ M\f(t)-fn(t)\Ut = Q.
г-» оо J
л-> оо
а
460
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VIII
Введем понятие стохастического дифференциала. Если для процесса ?(f), измеримого при каждом t относительно В?*, существуют такие b(t) из Tli[a,b] и a(t), измеримое при каждом t относительно и имеющее с вероятностью 1 конечный интег-
то будем говорить, что a (t) dt b (t) dw (t) является стохастическим дифференциалом процесса ’Q{t), и записывать.
Установим важнейшее свойство стохастического дифференциала— формулу Ито дифференцирования сложной функции.
VIII. Предположим, что процесс ?(/) имеет стохастический дифференциал dt,(t) — a{t)dt-\~b(i)dw{t), а функция u(t,x) (,неслучайная) определена при t е [а, Ь], х (= 5?', непрерывна и имеет непрерывные производные u't(t, х), u'x(t, х), uxx{t, х). Тогда процесс т](/) = u(t, ?(/)) также имеет стохастический дифференциал и справедлива следующая формула, носящая название формулы Ито:
йц (/) = \и\ {t, ? (/)) + и'х (t, ? (0) a (t) +
+ т U'L (*> S (0) b‘l (0] dt + их (t, I (0) ь (t) dw{t). (11)
Доказательство этой формулы будет получено сразу в многомерном случае (см. XIII).
Далее будут рассматриваться стохастические интегралы со случайными пределами. Пусть т — марковский момент относительно сг-алгебр (т. е. {х > /}е8??)- Предположим, далее что с вероятностью 1 х <= [а, Ь]. Тогда для любой f(t) <= Ш12 [а, Ь] функция f (t)%'X>ti ^ Ш2[а, Ь], так как Х{г>*} измерима относительно
Положим
ь
а
it ti
? (4) — ? 0"i) = ^ а (0 dt + ^ dw (0
dt, (t) == a (t) dt-\- b (t) dw (t).
t b
J f (t) dw (t) = \f (t) X{, > t)dw (*)¦
a
a
Если
*a
(12)
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО
461
ТО
м
•а
(13)
Таким образом, свойство II* справедливо и в том случае, когда верхний предел стохастического интеграла является марковским моментом. Легко видеть, что вместо выполнения (12) можно требовать лишь конечности правой части (13).
Рассмотрим теперь интеграл с двумя случайными пределами. Пусть f (t) ^.Ш2[а, b\, каково бы ни было b > а. Если т, и т2 — два марковских момента относительно ст-алгебр для которых G^Ti^T2 с вероятностью 1, определим
Для доказательства рассмотрим ^-измеримую величину принимающую лишь значения 0 или 1. Функция
принадлежит ЗГО2[а> Ь] при любом b > а, так как она измерима относительно %t (по определению ^-измеримой величины
а
0
Обозначим через St, сг-алгебру событий А из [Js*, для которых
IX. Если
то
fn(t) ^ t)f (0 %{х2 д л > t)
