Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рц(К) — 1
lim-----h----=
ЛуО п
для всех i = 0, 1,2, ..., и если
.. Рц№ ¦ , ¦
ач = lim—7—, ]ф1,
А + 0 п
то вероятность перейти из состояния i непосредственно в / будет
аи
— —в \\3 определения процесса рождения и гибели вытекает,
а
что лишь а,, ,+1 и а,, i могут быть отличны от нуля. Обозначим ai, г-Ы == At, Oi, г—1 == |Ыг• ТоГДЗ
Р(, (+1 U) — hit + О (t), p(t i-j (t) = + О (t)
5 4] ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ 423
и, следовательно, UM с точностью до о (At) есть вероятность рождения новой особи в популяции из i особей, а |л,А/ + о(А/) вероятность гибели особи в этой популяции. В силу регулярности ац = —hi — щ. Первая система уравнений Колмогорова имеет вид
— "Ь + hiPi+u/(0 + M-iPi-i,/(О» М'0:=:О> (1)
а вторая система уравнений —
~dfPii (0 = — (^/ + М"/)Рг/(0 + ^i-\Pi, /-1 (0 + И/+1Рг, /+1 (0 (2)
(при / = О считаем A_i = 0). Чтобы вторая система уравнений имела место, будем считать, что процесс обрывается после первого накопления скачков. Из (2) получаем уравнение для безусловных вероятностей:
~JfPl (0 = — "Ь М7) Pi (О "Ь hf-iPf-i (t) + Ц/+1Р/+1 (t) (3)
(pj(0) — вероятность того, что система в начальный момент находится в состоянии /, — считаем известной). Исследуем важный вопрос о существовании стационарного распределения процесса, т. е. такого начального распределения вероятностей, при котором pj(t) постоянны. Пусть pj(t) = pj. Тогда из (3) находим
— (Я/ + \ij)pj + Xj-iPj-i + М7+1Р/+1 — 0. (4)
Предположим, что [х; > 0 при j > 0. Тогда, полагая в (4) j — 0, находим
— ^оРо "Ь M'iPi === 0, pi = ~r-p0,
}*1
далее, при / = 1
/« , \ л А1Я0 __ Я0Я1
Ц2Р2 — Рч + Мч)Р1 — КРо— ¦ft) Ро, р2 — Ро-
С помощью индукции легко убедиться, что решением системны (4) будет
_ AoAt ... Xfe-i _
Pk — -jTTT-----г:—Ро- (5)
11\И2 H'fe
Для того чтобы {ph} было распределением вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы YiPk—U так как рь. неотрицательны. Поэтому для существования стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы
У ЯД,......< оо; (6)
и ... М*
fc-1
424
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
при выполнении этого условия стационарные вероятности задаются формулами
Процесс рождения и гибели может служить и для описания поведения чисто технических систем. Приведем некоторые примеры.
1. Обслуживание станков. Пусть m станков обслуживаются бригадой, состоящей из s рабочих.
Когда станок выходит из строя, он немедленно обслуживается одним рабочим, если не все рабочие заняты обслуживанием ранее вышедших из строя станков, или ожидает обслуживания, если все рабочие заняты. Станки обслуживаются в порядке, в котором они выходят из строя.
Примем следующие предположения. Для отдельного работающего станка вероятность выхода из строя за промежуток времени (t, tAt) не зависит от t и равна Ц/У) = KAt -j- о (At) независимо от «истории» его работы (т. е. от продолжительности работы, числа выходов из строя и продолжительности обслуживания) до момента времени t. Аналогично, если станок обслуживается рабочим, то вероятность окончания обслуживания за промежуток времени (t, t + At) равна ц(Д0 = (г At + о (At) и не зависит от характера его работы и продолжительности обслуживания до момента времени t. Станки работают, выходят из строя и обслуживаются независимо друг от друга.
Условимся говорить, что производственный процесс находится в состоянии S’h, если в данный момент времени число обслуживаемых или ожидающих обслуживания станков (т. е. общее число неработающих станков) равно k. Дополнительный выход из строя одного станка означает переход в состояние <%h+ь а окончание обслуживания одного из станков означает переход в состояние Таким образом, мы имеем однородную мар-
ковскую систему с конечным числом состояний <§q,<S\, ..., (?m. При этом из наших предположений вытекает, что
(7)
pk k+1 (At) = (m — k) % At + о (At), k = 0......m— 1;
pkk-l(At) — k[iAt+ о (At) при
pkk-i(At) = siiAt + o(Ai) при
РА/е±г(д0 = о( At), 2,
ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
425
т. е. мы имеем процесс рождения и гибели с конечным числом возможных состояний. В предыдущих обозначениях
kk = (m— k)%, k — 0, 1, ..., nr,
= /г(л при O^fe^s; Hfc — s(j. при s^k<^m.
