Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Множеством возможных состояний процесса является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2, ..., причем 0 является поглощающим состоянием: если v(/0) = 0 в момент времени t0, то и во все последующие моменты времени v(/) = 0 (/ > /0). Если с вероятностью 1 в некоторый момент времени t окажется, что v(t) — 0, то процесс называется вырождающимся. В других случаях величина v(t) обращается за конечный промежуток времени в 0 только с определенной вероятностью. Эту вероятность называют вероятностью вырождения процесса. Возможно, что со временем величина v(t) неограниченно возрастает. В случае ядерной реакции эту ситуацию можно интерпретировать как взрыв. Таким образом, в теории ветвящихся процессов нас могут интересовать следующие вопросы: какова вероятность вырождения ветвящегося процесса, каково асимптотическое поведение величины v(/)?
Пусть pij(t) обозначает условную вероятность того, что в момент времени t -\-х система состоит из / частиц, если в момент времени т имелось i частиц. Для решения задач, возникающих в теории ветвящихся процессов, удобно пользоваться методом производящих функций. Введем производящие функции fi(z,t) распределений {pa(t)}, j = 0, 1, ... :
оо
fi(z, i)=Y,zkpik(t), м<1.
А» О
434 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Вероятности pa(t) (i фиксировано) соответствуют распределению суммы i независимых случайных величин, каждая из которых имеет одно и то же распределение с производящей функцией fi(z,t). Поэтому
ft («» t) = [fi (z, t)]'. (2)
Для определения функции f\(z, t) можно воспользоваться любой из систем уравнений Колмогорова (§ 3)
В соответствии с общей теорией существуют производные
hm—7— = b,, / > 1, lim----т1-1— = &,.
t-> о ‘ <->o 1
OO
Предположим, что by = b0 + Л bj < оо. Тогда имеет место первая система уравнений Колмогорова:
dpu(t)
dt — — bipijit) + ^] bkpkj{t). (3)
k -о ь + \
Умножив обе части равенства (3) на zi и просуммировав по / от 0 до оо, получим
оо
&?й-~-ЬМг. 0+ ? Шг, t) (|z|<l)
k =о k+i
или, в силу (2),
— bj (г, 0+5] bkfk (г, /),
df (г, t)
dt
k =о k 1
где положено f(z,t) = fi(z,t). Окончательно получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение:
!- = «(/), (4)
где
u(z) = b0 — b{z+ Ц bkzk (|z|<l). (5)
К уравнению (4) нужно присоединить еще начальное условие
f{z,0)=z. (6)
Решение уравнения (4) при условии (6) может быть записано
в виде
Ф(П-Ф(2)-*, Ф(2) = $Т?Г (7)
§5]
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
435
Предположим, что выполнены условия, при которых имеет место вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова. Заметим, что из определения ветвящихся процессов вытекают следующие формулы:
Pkk (0 = (1 - b,tf + О (0 = 1 - т + О (О,
Pk к-1 (0 = k (1 — м*-1 Ы + О (0 = kbQt + о (i), рк к-1 (0 = о (0, j > 2,
Pkk+i (t) = k(\ — bj)bj+lt + o{t) = kbJ+lt + o{t), 1,
Таким образом, для функций Pu(t) система уравнений (15) § 3 принимает вид
Умножая (8) на z$ и суммируя по / от 0 до ею, получим новое уравнение для производящей функции f(z,t):
где u(z) имеет значение (5). К этому уравнению добавляется начальное условие (6). Решение уравнений (9) и (6) имеет вид
ние совпадает с (7).
Пример. Положим
u(z) = p — {p + q)z + qz?.
В этом случае одна частица за промежуток времени t исчезает с вероятностью pt-\-o(t), или превращается в две частицы с вероятностью qi + о (t), или с вероятностью 1 — (р + q) t + о (t) сохраняется. Вероятность превращения более чем в две частицы
откуда следует (принимая обозначения § 3) ац — jbi, Я/i-i—jbo, ctj j-k — 0, al i+k ~ i^k+u k^l.
(/ + i) b0pi i+i (t) jb\Pi i it) + + 0'— l)b2pi/-i(i)... -\-bjpXj(t). (8)
(9)
г
Г dz
где — обратная функция для / = ф(г)=\—-ту . Это реше-
о
436 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
равна о (t). Имеем
Z Z
ф(2)=^-^т-=Д ----------j =----------------!-- In *¦ (p^q).
^ ' J и (г) J p — (p + q)z + qz2 q — p р w ~г~ ч I
