Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Последнее соотношение поэлементно можно записать так: t
\ У. Pik(u)akle~^l{t~u> du = Pu(t) — е~‘*Ч6(1,
о k Ф!
420
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VII
откуда
t
\ Yj Pik{u)akjeKiu du^= plj(t)e'ii — бг/.
0 кф!
Дифференцируя по t, находим
Y, Pik W == -Jt Putt) e>"]t + XiPu tt) e%l*;
k Ф}
X •t
подставляя A,y = — a{j и сокращая e 1 , получаем (15).
Приведем еще одно условие регулярности процесса. Положим
gi №) = М ^exp А f] л: (0, со) = г) = М? exp А, J] j (18)
(через Мх мы обозначаем M0je; последнее обозначение введено в § 1). Функции giCk) удовлетворяют системе уравнений
g{ (А) = Мгехр{—А^} М (ехр j — A J] ^ j х(?и со), =
= Е М, ехр {- А?,} х{х(Ei> И)=/}М (ехр | - А J] | * (?,, <о) = j}) • Поскольку
М ехр | — А и | х (S,, ©) = j J = gj (A),
TO
g. (X) = ? M, exp {- AS,}x{je(E„ (Я) =
= Z TTX7 gt ^ = Z X -a gi W-
i 1Ф1 n
Окончательно для gt (л) получаем следующее уравнение:
hgi (А) = ? angi (А)- (19.)
Теорема 4. Для того чтобы процесс был регулярен, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (19) не имело при к > 0 ограниченных решений, отличных от нуля.
Доказательство. Если процесс нерегулярен, то функции gi (Я), определяемые равенствами (18), будут ограниченными ненулевыми решениями (19). Пусть теперь процесс регулярен. Равенство (19) эквивалентно соотношению
St (М = М, ехр {- А?.} gxi {и) (А) (20)
однородный процессы
421
(это установлено в промежуточных выкладках при выводе (19)). Из (20) вытекает, что
таким образом,
^(Я)^М,.еХр{-Я(^+у}^2(ш,(А)
Используя соотношение
ёХк -о W = M*ft (,0) ехР {- *к+.} 8Xk+i «0, (Л),
точно так же убеждаемся, что справедливо равенство g\(A) = М;ехр{— Я (С, + ... +?„)}^(Ш)(Я).
Переходя к пределу при п->оо в неравенстве
I gi №) I < М, ехр {— Я, (Ci + ••• + in)} sup ! gk (Я)
k
и учитывая, что для регулярного процесса
lim Мгехр{—Я(?1+ ... + ?,г)} = 0,
убеждаемся, что gi(A) = 0. Ш
Рассмотрим необрывающиеся процессы с конечным множеством состояний. Будем считать, что фазовое пространство совпадает с множеством {1, 2, ..., г}. Очевидно, что для таких процессов справедливы все результаты, которые получены выше для процессов со счетным множеством состояний. (Можно добавить к фазовому пространству бесконечное множество поглощающих состояний {г + 1, г +2, ...} таких, что Pa(t)— 0 при
i г, / > г.) Если для вероятностей перехода выполнены условия 1)—4), то все состояния процесса регулярны, так как
— аи — lim-----г-= lim ) —'¦?—= > аи
Но h hi о А». h /ч '
1Ф1 1Ф1
(переход к пределу ад знаком суммы возможен, так как число слагаемых конечно). Поэтому вероятности перехода удовлетворяют первой системе уравнений Колмогорова:
йрц (t)
dt
k
Поскольку — X p;,; (0 a. ^ ^ a; < o° , то в силу теоремы 3
выполнена и вторая система уравнений Колмогорова.
422 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Пусть П(/) = || Pij(t) || — матрица вероятностей перехода. Если А = || ац ||, то (21) может быть переписано в виде
4-п(*) = Л1щ.
Так как П(0) = /, то
П(/) = ем.
Процесс регулярен в силу теоремы 4. Действительно, ограниченное решение уравнения А?г = ?а(/?/ удовлетворяет неравенству
/
— ан) | gt К ? а(11 gj |< max | g, | | аи |.
1Ф1 I
Значит, если i таково, что | gi | = max| g, |,
1
(Я — ati) max |g/|<|anl шах | g} |,
что возможно лишь при условии max \g, | = 0.
I
§ 4. Процесс рождения и гибели
Так называется однородный марковский процесс с состояниями {0, 1, 2, ...}, в котором из состояния п возможен лишь непосредственный переход в состояния п—1 и п + 1, а из состояния 0 — в состояние 1. Состояние процесса интерпретируется как число особей некоторой популяции, переход из состояния п в п + 1 —рождение повой особи, переход из п в п— 1 —гибель некоторой особи; в общем случае не исключается самозарождения (переход 0->1). Пусть такой процесс стохастически непрерывен и все его состояния регулярны. Тогда конечны величины
