Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
общих свойств вероятностей перехода (см. гл. I, § 4) вытекает, что они удовлетворяют условиям:
1) Ра(О 0, f 2s 0, Pij(0) = 6ц (6ij = 1, i — /; = 0ЛФ j);
2) Z Pu(t)= i;
/eH
3) при t > 0, s > 0
Pij{t + S)= ? Pik(t)Pki(s)
(уравнение Чепмена — Колмогорова). Мы будем также предполагать, что процесс стохастически непрерывен, т. е. что выполнено условие
4) Нтр,/(г) = 6;/. f*0
Иногда заменяют условие 2) более слабым:
? РцУХ 1-
/еЛГ
Случай X 1 можно интерпретировать следующим об-
/еЛГ
разом: система, находящаяся в некоторый момент времени в t-м состоянии, с положительной вероятностью, равной 1 —
— 2 Pi/W> через промежуток времени i отсутствует в фазовом
/е=ЛГ
пространстве. Иными словами, в фазовом пространстве не хватает точек для описания всех возможных состояний системы. Процессы подобного типа условимся называть несобственными марковскими процессами. Нетрудно заметить, что, прибавляя к фазовому пространству некоторое множество точек, можно доопределить несобственный марковский процесс, не изменяя при этом заданных вероятностей перехода, превратив его в марковский процесс в собственном смысле. Проще всего этого можно достичь присоединением к фазовому пространству одного «поглощающего» «бесконечно далекого» состояния «оо». Положим
N' = N U{oo>, Ploo = l- Z Pi/(t),
/еЛГ
Роо;(0 = 0, few, ржоо(/) = 1.
Легко убедиться, что совокупность вероятностей перехода {РиШ, i, j<=N',
образует процесс Маркова в собственном смысле. Для доказательства достаточно проверить только выполнимость условия 3).
408 СКАЧКООБРАЗНЫЙ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Имеем
Pit(t + s)= ? pia(t)paj{s)= Е Pia(t) Pal(s) + Pi x{t) P^/is)^
a e iV a e V
= ? Pia(t)Pal(s),
a = .V*
Poo/(* + s)=0 = ? Pcoa^)Pa/(S) + Poo» (0 ?„,(«) =
aeiV '
= ? PooaWPa/(s),
»E,f
Poooo (*+«) = 1 = E Peoa(0Pa«x.(s) + Poooo(0/»cooo(s) =
a^N
p<«,(* + s) = i- E p,a(* + s) = i — E E p«(5Wpea(s) =
-1 - <*> -1 - - p»-(s)) -
= Pi oo (0 + ? Ргв (0 P0 oc (s) = Pi oo (0 Poo oo (s) +
oSiV
+ ? p,0 W P3oo (s) = E Pie (t) PBoo (s)-
pG;V per
Таким образом, несобственные процессы Маркова, по сути, не расширяют класс процессов Маркова. В частности, общие свойства переходных вероятностей однородных процессов Маркова являются также свойствами переходных вероятностей в несобственном процессе Маркова. Более того, для несобственных про-' цессов величина
PiocW = l- Е Pia(t)
as ,V
обладает теми же свойствами, что и вероятность перехода Pia{t), неМ Можно заметить, что величина pico(t) является монотонно неубывающей функцией. Действительно, как мы только что видели,
Р<оо(* + «) =/><«(*)+ Е Рю(*)Ръс(в)>р1еоУ), s > 0.
В силу вышесказанного мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением марковских процессов в собственном смысле.
У стохастически непрерывного процесса переходные вероятности равномерно непрерывны при t ^ 0: для s > 0
| Pil{t + s) — Pii(t)\^ ? I Pik (s) — (>ik I Pki (t) <
k e n
< 1 — Pa (s) + E. Pik (s) = 2(1— Pii (s))
k ^ i
ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
409
и, значит,
I Рц (ti) — Рц (У К 2 (1 — р{{ ( U, — У)).
Как видим, Pa{t) равномерно непрерывны равностепенно по }.
Рассмотрим вопрос о существовании производных у функций Pij{t). Сначала покажем существование правых производных в точке 0.
Теорема 1. Всегда существуют конечные или бесконечные пределы
ait = lim-----------
hi 0 П
Если j, то atj конечно', а,-,- либо конечны, либо аи = — оо;
во всех случаях X ^ — аа-
I Ф i
Доказательство. Пусть i = /. Положим
1 — рн (А) s = sup-------------
h> a п
(может быть, s = + oo). Если c<s и -----------------^-->с, то при
‘0
- ^ t ^ т < , учитывая неравенство ри {t + К) ^ рн (t) рц {К),
будем иметь
с < -у- [1 — \рц (т)}прц {t0 — пт)} <
[0
< 1-[Р»(т)Г + (1~Р»(<о~ят)) < [[ -Рц^}п , 1 - Рц (‘о - пх)
пх пх t0
Поскольку при Т-*0 t0 — пт->0, Ра {tQ — пт) —> 1, то
